Aproximación de Padé

La aproximación de Padé de orden $n$ es la aproximación de una función arbitraria $f\left( s \right) $ por medio de una función racional $R(s)$, de una mejor manera que la aproximación por una serie de Taylor truncada o no convergente. Debido a factores de sensibilidad, se recomienda que $n\leqslant 10$.

Definición formal:

$f\left( s \right) \simeq R_n\left( s \right) =\frac{b_0+b_1s+\cdots +b_ns^n}{1+a_1s+\cdots +a_ns^n}\\f\left( 0 \right) =R_n\left( 0 \right) , f'\left( 0 \right) =R_{n}^{'}\left( 0 \right) , \cdots , f^{\left( 2n \right)}\left( 0 \right) =R_{n}^{\left( 2n \right)}\left( 0 \right) $

En el caso de una función exponencial, la aproximación de Padé de orden 1 es equivalente a la siguiente expresión:

$e^{-\tau s}=\frac{e^{-\frac{\tau s}{2}}}{e^{\frac{\tau s}{2}}}\simeq \frac{1-\frac{\tau s}{2}}{1+\frac{\tau s}{2}}$

La aproximación de Padé para la función exponencial (retardo) en MATLAB es:

s = tf('s'); 
f = exp(-s); 
n = 1;  
Rn = pade(f, n); 
pade(0.1,n) % Gráfico de la aproximación

Gráficos y aproximación de Padé de orden 70 para la función $e^{-s}$: ver figura de arriba.

Gráficos y aproximación de Padé de orden 1 para la función $e^{-s}$: