Análisis dimensional

El análisis dimensional es un método que se ocupa del análisis de las relaciones entre diferentes cantidades físicas por medio de la identificación de sus dimensiones sin necesidad de una teoría. Por ejemplo, se pueden establecer los exponentes de expresiones matemáticas que dependen de magnitudes conocidas. 

Aspectos generales

Se usan los corchetes para indicar las unidades o dimensiones de una magnitud:

$[F]=\mathrm{N},  [F]=[m][a]=\mathrm{ML}/\mathrm{T}^2=\mathrm{kg×m×s}^{-2}$

El principio de homogeneidad dimensional de Fourier establece que todos los términos de una expresión matemática tienen las mismas dimensiones, lo cual permite identificar las unidades de una magnitud en una expresión matemática:

Si $A=B^2+CD$, entonces $[A]=[B]^2=[C][D]$

Ejemplo 1:

$y=\mathrm{sen}\left( 2\mathrm{\pi}ft \right) ,[ft]=\mathrm{rad},[f]=\mathrm{rad}/[t]=\mathrm{rad}/\mathrm{s}$

Ejemplo 2 (los exponentes no tienen unidades):

$y=e^{-k\mathrm{\omega}t},[\mathrm{\omega ]}=\mathrm{rad}/\mathrm{s},[t]=\mathrm{seg},[k\mathrm{\omega}t]=1,[k]=1/[\mathrm{\omega}t]=1/(\mathrm{rad×s}^{-1}\mathrm{×s)}=\mathrm{rad}^{-1}$

Referencias

1. Análisis dimensional (Wikipedia)
2. Ejemplos de análisis dimensional
3. Gabriel Poveda Ramos (2016). Análisis dimensional generalizado. Revista EIA, 13(25), 13–27.
4. J.C. Gibbings (2011). Dimensional Analysis. Springer.
5. Análisis dimensional con MATLAB