Función arctan(θ) - Explicación y características

La función trigonométrica arctan (arcotangente), función inversa a la función trigonométrica tan (tangente), entrega un ángulo en un cuadrante específico que depende de los signos de cada uno de los términos del numerador y del denominador del argumento de la función, cuando se tienen (es lo que ocurre en este libro).

Si se tiene un triángulo rectángulo como el de la figura de arriba, entonces el arctan es igual al ángulo en radianes correspondiente a la razón entre $y$ y $x$:

$\tan \varphi =\frac{y}{x}=\frac{\sin \varphi}{\cos \varphi}$

$\varphi =\arctan \frac{y}{x}$

$\arctan \varphi \ne \tan ^{-1} \varphi = \frac{1}{\tan \varphi}$

Por ejemplo,

$\arctan \frac{1}{1}=\frac{\pi}{4}$ (seno positivo y coseno positivo, primer cuadrante)

$\arctan \frac{1}{-1}=\frac{3\pi}{4}$ (seno positivo y coseno negativo, segundo cuadrante)

$\arctan \frac{-1}{-1}=\frac{5\pi}{4}$ (seno negativo y coseno negativo, tercer cuadrante) 

$\arctan \frac{-1}{1}=\frac{7\pi}{4}$ (seno negativo y coseno positivo, cuarto cuadrante)

En MATLAB se debe utilizar la función atan2 para obtener el signo correcto del ángulo:

atan2(-1,-1)

-2.3562 rad,  $2\pi -2.3562=3.9270=\frac{5\pi}{4}$ 

Gráfico de las funciones tan y arctan: