Teorema de Fourier

El teorema de Fourier establece que cualquier función puede descomponerse en un número infinito de funciones sinusoidales con distintas amplitudes y frecuencias, lo cual puede realizarse por medio de la transformada de Fourier. Si la función es periódica la descomposición se realiza con una serie de Fourier y si es aperiódica con una integral de Fourier. 

La transformada de Fourier de una señal aperiódica continua, junto con la transformada inversa de Fourier, es:

$U(\omega )=\mathcal{F} \left\{ u(t) \right\} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{u(t)e^{-i\omega t}}dt\,\,        \omega \in \mathbb{R} \\u(t)=\mathcal{F} ^{-1}\left\{ U(\omega ) \right\} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{U(\omega )e^{i\omega t}}d\omega $

La transformada discreta de Fourier (DFT) de una señal aperiódica discreta (secuencia de números), junto con la DFT inversa, y con el período de muestreo implícito, es:

$U_N(\omega _n)=\mathcal{F} \{u(k)\}=\sum_{k=0}^{N-1}{u(k)e^{-i\omega _nk}}\,\,    \omega _j=\frac{2\pi n}{N}=2\pi f_n\\u(k)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}{U_N(\omega _n)e^{i\omega _nk}}$

El cálculo de la DFT a partir de su definición es un proceso lento e ineficiente, por lo que en la práctica se calcula numéricamente utilizando la transformada rápida de Fourier (FFT), la cual, dependiendo del algoritmo, puede requerir un máximo de $N\log N$ operaciones. Los diferentes métodos FFT buscan dividir el cálculo de la DFT en varios cálculos de menor orden; el método Cooley–Tukey es el más conocido y aplicado. Una de las propiedades básicas de la DFT está dada por el teorema de Parseval, el cual muestra que la potencia de una señal puede determinarse a partir de la potencia de cada uno de sus componentes frecuenciales:

$\sum_{k=0}^{N-1}{u^2\left( k \right) =\frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1}{\left| U_N\left( \mathrm{\omega}_j \right) \right|^2}}$