Amplitud ($A$)
La amplitud $A$ afecta el alejamiento a partir del punto central. Sean,
$\omega=0,\varphi=0$
$A=1,y_1=A \sin (\omega t+ \varphi)$
$A=2,y_2=A \sin (\omega t+ \varphi)$
$A=2,y_3=A \sin (\omega t+ \varphi)$
El gráfico es:
Frecuencia angular ($\omega$, rad/s)
La frecuencia angular indica la rapidez con que cambia la señal. Sean,
$A=1,\varphi=0$
$\omega=1,y_1=A \sin (\omega t+ \varphi)$
$\omega=2,y_2=A \sin (\omega t+ \varphi)$
$\omega=5,y_3=A \sin (\omega t+ \varphi)$
El gráfico es:
Para comprender lo que es la frecuencia angular se puede utilizar el siguiente gráfico, donde se muestra el ángulo $\alpha$. Una vuelta equivale a un ángulo igual a $2\pi$. El tiempo de un vuelta completa es lo que se denomina el período ($P$). Por lo tanto, la velocidad de una vuelta es igual a $2\pi/P$, que es lo que se llama la frecuencia angular. El inverso del período es la frecuencia: $f=\frac{1}{P}$. De esta manera, $\omega=\alpha /t$ y $\alpha=\omega t$
Fase ($\varphi$, rad)
La fase es el ángulo inicial de la oscilación, como se muestra en la figura de arriba: $\alpha=\varphi + \omega t$. Sean,
$A=1,\omega=1$
$\varphi=0,y_1=A \sin (\omega t+ \varphi)$ (sinusoide puro)
$\varphi=1,y_2=A \sin (\omega t+ \varphi)$
$\varphi=2,y_3=A \sin (\omega t+ \varphi)$
El gráfico es:
Lo anterior se cumple para diferentes ángulos:
$\omega t+ \varphi=\{0,\pm \pi, \pm 2\pi,...\}$
Para el primer caso:
$\omega t_1+ \varphi=0$
$\varphi=- \omega t_1$ (a un tiempo negativo le corresponde una fase positiva)
Con base en lo anterior, la fase se obtiene de la respuesta temporal con respecto a $y=A\sin \omega t$ como $\varphi =\omega (t_1-t_2)$, donde $t_1$ es el valor del tiempo para una señal sinusoidal sin fase y $t_2$ es el valor del tiempo para ese mismo punto en la señal con fase (desfasada), pudiendo ser positiva o negativa (depende de si se toma en el sentido opuesto a las manecillas del reloj o en el mismo sentido). La siguiente figura ilustra este cálculo:
La suma de un seno y una coseno se puede representar como una señal sinusoidal con cierta amplitud y fase:
$a\sin \omega t+b\cos \omega t=A\sin ( \omega t+\varphi ) $
Según la identidad trigonométrica del seno de la suma de dos ángulos:
$\sin ( \omega t+\varphi ) =\sin \omega t\cos \varphi +\cos \omega t\sin \varphi $
Multiplicando por $A$ la expresión anterior y comparando se obtiene:
$a=A\cos \varphi , b=A\sin \varphi , A=\sqrt{a^2+b^2}, \varphi =\arctan \frac{b}{a}$
Por ejemplo, sea una ecuación diferencial lineal el término independiente (entrada) es $v_e(t)=1+0.5\sin 2t$, cuya solución se estabiliza en la siguiente función: $q(t)=2−0.0622\sin 2t − 0.0166\cos 2t$. El gráfico se muestra a continuación:
Del gráfico se observa una amplitud más pequeña de $q(t)$ (línea roja) y un desfase con respecto a $v_e(t)$ (línea azul). Quitando el valor medio de $q(t)=2$ se puede calcular la amplitud y la fase aproximadamente de la siguiente manera:
- Amplitud de la señal $q(t)$: $A ≈ 2.06325-2= 0.063$
- Fase de la señal $q(t)$ respecto a $v_e(t)$: $\varphi = \omega (t_1-t_2) = 2\times (28.9992-30.4691) \approx -2.94~\mathrm{rad}$.
- Donde, $t_1$ es el tiempo de un pico de la señal sinusoidal de entrada y $t_2$ es el tiempo del siguiente pico de la señal desfasada, para el caso de desfases negativos.
De otro lado, utilizando las fórmulas de arriba se tiene:
- $a = -0.0622, b = -0.0166$
- $A = \sqrt{a^2 + b^2}=0.0654$
- $\varphi =\arctan b/a=-2.88~\mathrm{rad}$
- Los valores a partir del gráfico son muy cercanos a los teóricos, teniendo en cuenta los errores de apreciación
- Cálculo con MATLAB: a = -0.0622; b = -0.0166; A = sqrt(a^2 + b^2), fi = atan2(b,a)
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