Curso de ecuaciones diferenciales ordinarias con un enfoque hacia los sistemas dinámicos

A continuación, se presenta una propuesta para utilizar el libro "Sistemas Dinámicos en Contexto" para un curso de introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias con orientación a las aplicaciones y a la motivación en el área.

A partir de las ideas presentadas por Gian-Carlo Rota [1] hace varios años (las cuales pueden ser más actuales que nunca), se propone un curso de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con las siguientes características:

• Énfasis en las ecuaciones diferenciales de orden superior y la ecuación de estado, las cuales son más cercanas a problemas reales
• Relación de las ecuaciones diferenciales no lineales con su aproximación lineal por medio de la linealización
• Aplicación de métodos numéricos básicos (ecuaciones en diferencias y su solución iterativa) y simulación
• Presentación de la técnica de cambio de variables y las formas canónicas
• Utilización del método de la transformada de Laplace en el marco de la función de transferencia y el teorema de convolución
• Desarrollo de ejemplos reales o cercanos a la realidad, mostrando la fase de la modelación matemática, relación sistémica y gráfica entre los subsistemas, análisis dimensional y una introducción a la modelación experimental con métodos simples basados en la respuesta temporal.
• Énfasis en conceptos claves como: relación entre el orden de la ecuación diferencial y el número de integradores (diagrama de simulación), efecto de los polos y ceros, estabilidad, relación entre el término independiente de la ecuación no homogénea y las variables exógenas del sistema, aplicación del teorema de convolución, relación entre diferentes representaciones de un modelo (ecuación diferencial, ecuación de estado, función de transferencia), análisis en el plano de fase, características no lineales, análisis temporal y frecuencial, entre otros
• Aplicación del análisis de incertidumbre y la teoría de errores y aproximación en los problemas reales, como fundamento para la conciliación de la teoría con la práctica.

Posibles temas del curso con base en los temas del libro:

1. Ecuaciones diferenciales de orden superior de sistemas dinámicos lineales de tiempo continuo: ecuaciones homogéneas y no homogéneas, principio de superposición, método de coeficientes indeterminados, término independiente como entrada, tipos comunes de entrada (escalón o Heaviside, sinusoidal, pulso, entre otras), solución general y solución particular, problema de valor inicial, teorema de existencia y unicidad (estudio de casos problemáticos).
2. (*) Función de transferencia: transformada de Laplace, polos y ceros, interpretación de la función de transferencia, reducción del orden de la función de transferencia.
3. Ecuaciones en el espacio de estado: conceptos básicos, ecuación de estado a partir de la ecuación diferencial o en diferencias, solución de la ecuación de estado homogénea lineal de tiempo continuo por el método de valores y vectores propios, (*) solución de la ecuación de estado lineal de tiempo continuo por el método de la transformada de Laplace, matriz de transición del estado (matriz exponencial) y el método de las series de potencias, (*) transformaciones lineales y formas canónicas, polos y ceros de sistemas MIMO a partir de la ecuación de estado.
4. Modelación matemática y simulación de sistemas dinámicos: el enfoque de sistemas en la modelación matemática, diagramas de bloques, diagrama de estado (de simulación) y el concepto de integrador, métodos numéricos para la solución de ecuaciones diferenciales (Euler, Runge-Kutta), simulación de sistemas dinámicos con Matlab/Simulink, (*) escalamiento o normalización de modelos, (*) análisis de sensibilidad e incertidumbre.
5. Análisis de sistemas dinámicos: retratos de fase y puntos de equilibrios, características de los sistemas no lineales (caos, bifurcación, número de puntos de equilibrio, etc.), linealización, análisis de estabilidad (definición de Lyapunov, método de Routh-Hurwitz, (*) método del lugar de las raíces), análisis temporal (respuesta temporal de un sistema de primer orden, respuesta temporal de un sistema de segundo orden subamortiguado), (*) análisis frecuencial (respuesta a señales sinusoidales, diagrama de Bode, características frecuenciales, análisis de estabilidad a partir del diagrama de Bode).
6. Casos de estudio lineales y no lineales

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