Modelos matemáticos no lineales de sistemas dinámicos

A continuación, se presentan algunos ejemplos de modelos matemáticos de tiempo continuo no lineales de orden mayor que uno de sistemas dinámicos en variables de estado y con al menos una entrada. Si el modelo no tiene entrada se puede adicionar una entrada de la siguiente manera: a) adicionando una entrada a una ecuación, lo cual corresponde a una tasa; b) convirtiendo un parámetro constante en una entrada: $a \rightarrow a+u(t)$. Si el modelo no es estable se debe identificar el subsistema que permita estabilizarlo o hacer pruebas con señales de entrada adecuadas.

Ideas generales

Si se va a utilizar uno de estos modelos para una práctica o proyecto es necesario, para empezar, hacer lo siguiente: 1) identificar y comprender la ecuación de estado (en un artículo pueden aparecer varios modelos); 2) identificar que cumpla con las características especificadas arriba (no lineal, tiempo continuo, orden); 3) identificar o definir claramente la variable de entrada; 4) comprender el significado y valores factibles de cada parámetro y variable de estado y entrada (con sus unidades de medición); 5) seleccionar la salida (variable de interés) entre todas las variables de estado; 6) interpretar el comportamiento básico del modelo: uso, suposiciones, limitaciones, alcance, características; 7) conversar con el profesor o tutor del modelo para garantizar que se tiene un modelo viable (ni tan simple ni tan complejo). En el documento de Casos de estudio se dan ejemplos de cómo abordar el estudio de estos sistemas dinámicos.

Modelos matemáticos

1. Reacción química de Belousov–Zhabotinski. En: Stephen Lynch. Dynamical Systems with Applications using Matlab. Sección 14.4.III.
2. Modelo matemático de cuatro tanques acoplados.
3. Péndulo invertido. Ecuaciones 3 y 6. Se puede trabajar el problema de la grúa (punto de equilibrio inferior estable) o el problema del péndulo invertido (punto de equilibrio superior inestable).
4. Un tipo de sistema financiero no lineal con comportamiento caótico. Ecuación (1).
5. Gestión de pesquerías multiespecie.
6. Modelo dinámico de un sistema de una sola especie en un ambiente contaminado.. Ecuación (2.1).
7. Modelo presa-depredador de Holling–Tanner. En: Stephen Lynch. Dynamical Systems with Applications using Matlab. Ejemplo 3, página 213.
8. Modelo presa-depredador con depredadores enfermos. Ecuación (2).
9. Modelo presa-depredador con refugio de presas e infección de depredadores. Ecuación (2). 
10. Modelo realista de depredación. En: La matemática de los sistemas biológicos. Sección 2.3. Ecuaciones (2.32) y (2.33).
11. Destrucción del hábitat. En: La matemática de los sistemas biológicos. Sección 2.4. Ecuaciones (2.50) a (2.52).
12. Competencia cíclica. En: La matemática de los sistemas biológicos. Sección 2.6. Ecuaciones (2.87) a (2.89).
13. Modelo de pesca con áreas de reserva. Ecuaciones (3.1) a (3.4). 
14. Modelo epidemiológico SIRD. En Compartmental models in epidemiology. Modelo de orden cuatro.
15. Modelo epidemiológico SIRV. En Compartmental models in epidemiology.
16. Modelo epidemiológico MSIR. En Compartmental models in epidemiology.
17. Modelo epidemiológico SEIR. En Compartmental models in epidemiology.
18. Modelo epidemiológico SEIS. En Compartmental models in epidemiology.
19. Modelo epidemiológico MSEIR. En Compartmental models in epidemiology.
20. Modelo de vacunación durante la propagación de enfermedades epidemiológicas. En Compartmental models in epidemiology.
21. Modelo epidemiológico SIR con vacunados. Ecuación (8). En: Dynamics of infectious diseases. Sección 2.5.
22. Modelo epidemiológico del VIH. Ecuación (3).
23. Modelo dinámico de VIH-1.
24. Un modelo simple de transmisión de enfermedades sexuales. Corregir la ecuación para $dX/dt$: el último término para $\nu Y$ es positivo y no negativo.
25. Modelando los efectos de la gripe aviar (H5N1)
26. Un modelo de adicción
27. Las matemáticas del chisme. Ver La inoculación psicológica mejora la resiliencia frente a la desinformación en las redes sociales.
28. Efecto de la quimioterapia en el crecimiento de tumores con consideración de la dinámica de la droga. Ecuación 2.5.
29. Crecimiento de células tumorales cancerosas.
30. Un modelo matemático sobre bacterias sensibles y resistentes a antibióticos. Ecuación (1). 
31. Tolerancia a la glucosa. Dos primeras ecuaciones del artículo, con I(t) igual a la entrada del modelo. La tercera ecuación corresponde a un controlador. Los parámetros deben obtenerse de otros artículos.
32. Modelación de una población de peces de tres especies en la Bahía de Chesapeake.
33. Modelo de gestión de recursos y su aplicación al pasado y futuro de las poblaciones de ballenas en peligro de extinción
34. Modelo de FitzHugh–Nagumo de una neurona. Más información en este enlace (ecuaciones 3a y 3b).
35. Modelo de una membrana nerviosa. Ecuaciones (1) y (2).
36. Modelo de circulación atmosférica Lorenz-84. Ecuación (1).
37. Levitador magnético. Ecuación (20). El modelo es inestable, por lo que se debe simular con una entrada con cambios de pulsos que logre mantener la salida en un rango estable durante un corto tiempo. Para la identificación es necesario diseñar un controlador de realimentación de l estado y realizar la identificación en lazo cerrado por el método directo, preferiblemente.
38. Levitador magnético con fricción e inducción electromagnética. Ecuación (8). El modelo es inestable, por lo que se debe simular con una entrada con cambios de pulsos que logre mantener la salida en un rango estable durante un corto tiempo. Para la identificación es necesario diseñar un controlador de realimentación del estado y realizar la identificación en lazo cerrado por el método directo, preferiblemente.
39. Modelamiento Matemático de la Fiebre Amarilla: un modelo con migración
40. Estudio de un modelo predador-presa con tres especies y capacidad de carga variable
41. El agrupamiento de presas puede actuar como una medida de  contraataque contra los depredadores
42. Cáncer papilar de tiroides metastásico en tratamiento con diferentes protocolos I-131: un modelo matemático
43. Papel de las células madre cancerosas en el crecimiento del cáncer
44. Ecuación cinética química de Robertson
45. Modelo de Goodwin del Ciclo Económico. Más información: 1, 2, 3
46. Supresión tumoral por sistema inmunológico
47. Modeling the Dynamics of Glacial Cycles (Modelado de la dinámica de los ciclos glaciares)
48. Mathematics of Malaria and Climate Change (Matemáticas de la malaria y el cambio climático)
49. A Risk-Structured Mathematical Model of Buruli Ulcer Disease in Ghana (Un modelo matemático estructurado por riesgo de la enfermedad de úlcera de Buruli en Ghana)
50. Air Levitation State Feedback Control Using Pole Placement and Kalman Filter

Otras fuentes de modelos

1. Bürger, R. Introducción al Modelamiento en Biomatemática. 2012. 
2. Elizabeth S. Allman, John A. Rhodes. Mathematical models in biology - An introduction.  2003. 
3. Navas, J. Modelos matemáticos en biología. Universidad de Jaén. 2009. 
4. Joseph J. DiStefano. Dynamic systems biology modeling and simulation. 2013. 
5. Matthias Ruth, Bruce Hannon. Modeling Dynamic Biological Systems. 1997. 
6. Brauer F. et al. Modelos de la propagación de enfermedades infecciosas. 2014. 
7. Weijiu Liu. Introduction to Modeling Biological Cellular Control Systems. 2012
8. Oliveira, M. The Lotka-Volterra Equations in Finance and Economics. 2017.
9. Revista de Modelamiento Matemático de Sistemas Biológicos

Prompt de ChatGPT para búsqueda de modelos

Nota (no poner en el prompt): se puede ajustar este prompt y hacer luego más preguntas para precisar mejor el modelo seleccionado a partir de los propuestos por ChatGPT. En ocasiones se obtienen modelo no adecuados o la referencia bibliográfica no existe.

Contexto: Soy un estudiante de quinto semestre de ingeniería que debe seleccionar un modelo matemático determinístico (no estocástico) de tiempo continuo no lineal en variables físicas de estado de orden mayor o igual que dos y menor o igual que cuatro. Me interesan modelos en las siguientes áreas del conocimiento: economía, finanzas, biología o epidemiología.

Task: Te pido me des dos modelos matemáticos de cada una de las áreas de mi interés. Las ecuaciones deben ser en derivadas ordinarias y no deben contener derivadas parciales. Si los modelos anteriores no tienen entrada (término independiente manipulable), adicionar una entrada en cada caso a una de las ecuaciones.

Output: De cada modelo debes indicarme: 1) ecuaciones del modelo en variables de estado; 2) cuáles son las variables de estado con su nombre y unidades de medición; 3) cuáles son los parámetros (constantes del modelo) con su nombre, unidades de medición, un valor típico y un intervalo para otros valores; 4) significado de la entrada y valores factibles; 5) cuáles son las suposiciones y limitaciones del modelo; 6) para qué se usa el modelo; 7) hiperenlace y referencia bibliográfica para consultar más del modelo.