2.4. Aplicación de la fórmula de Mason para la reducción de un gráfico de flujo de señal (ejercicio resuelto)

Introducción (planteamiento)

Dado el siguiente diagrama de bloques, aplicar la fórmula de Mason para la obtención de la función de transferencia del sistema para la entrada $u_1$ y la salida $y_1$.

Método (plan de solución)

Pasos: (i) convertir el diagrama de bloques en un gráfico de flujo de señal (este paso se puede omitir, pero se hace aquí para mostrar la equivalencia entre las dos representaciones); (ii) identificar los caminos directos que unen la entrada y salida; (iii) identificar los lazos; (iv) identificar los pares, ternas, cuaternas, etc. de lazos disjuntos; (v) obtener la ganancia de caminos y lazos; (vi) calcular el determinante y los cofactores; (vii) aplicar la fórmula de Mason; (viii) analizar el resultado.

Resultados (solución)

El gráfico de flujo de señal se da a continuación, donde se numeraron los sumadores, bifurcaciones y extremos de cada rama; se le asignó un nodo a cada uno de los elementos anteriores, revisando que la numeración se mantenga; se unieron los nodos de acuerdo con la información del diagrama de bloques; sobre cada rama se puso una ganancia, ya sea una función de transferencia o 1. 

Dos caminos directos (se especifican los nodos del camino): (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8), (1)(2)(6)(7)(8)

Tres lazos (se especifican los nodos del camino): 

$L_1: (3)(4)(3)\\ L_2: (5)(7)(5)\\ L_3:(3)(4)(5)(6)(7)(3)$

Pares de lazos disjuntos: 

$L_1L_2$

No hay ternas (para que pueda haber ternas de lazos disjuntos debe haber, por lo menos, dos pares de lazos disjuntos).

Ganancias de los caminos directos: 

$P_1=G_2G_2,  P_2=-G_3$.

Ganancias de los lazos: 

$L_1=-G_1G_6, L_2=-G_2G_4, L_3=-G_1G_2G_5$.

Determinante:

$\Delta =1 - \sum{L_i} + \sum_{disj}{L_iL_j} - \sum_{disj}{L_iL_jL_k} + \cdots \\ = 1 -(L_1+L_2+L_3) + L_1L_2 = 1+G_1G_6 + G_2G_4 + G_1G_2G_5 + G_1G_2G_4G_6$

Cofactor del primer camino (todos los lazos tocan ese camino, $L_1=L_2=L_3=0$): 

$\Delta _1=1$

Cofactor del segundo camino (solo el primer lazo no toca ese camino, $L_2=L_3=0$): 

$\Delta _2=1-L_1=1+G_1G_6$

La función de transferencia respectiva es:

$G_{11}(s)=\frac{Y_1(s)}{U_1(s)}=\frac{1}{\Delta}\sum_{i=1}^N{P_i\Delta _i}=\frac{G_2G_2-G_3\left( 1+G_1G_6 \right)}{1+G_1G_6+G_2G_4+G_1G_2G_5+G_1G_2G_4G_6}$

Discusión y verificación

Para la verificación del resultado es necesario revisar bien la conversión del diagrama y observar que se utilicen todas las funciones de transferencia del diagrama. El método de las ecuaciones algebraicas del ejemplo resuelto 2.3 entrega el mismo resultado, lo que da validez al resultado. Si se conocen cada una de las funciones de transferencia del modelo, se puede obtener el diagrama de simulación del sistema completo y comparar el resultado de la simulación con la función de transferencia obtenida.