2.3. Reducción de un diagrama de bloques aplicando el método de las ecuaciones algebraicas (ejercicio resuelto)

Introducción (planteamiento)

Dado el siguiente diagrama de bloques, reducirlo a partir del método de las ecuaciones algebraicas para obtener la función de transferencia que relaciona la primera entrada con la primera salida, resolviéndolas con MATLAB.

Método (plan de solución)

Pasos: (i) asignar a cada rama una variable (en la figura se asignan las letras a, b, c, …, k), (ii) plantear las ecuaciones, (iii) resolverlas utilizando las herramientas de matemáticas simbólicas de MATLAB, (iv) analizar los resultados.

Resultados (solución)

Las ecuaciones algebraicas del diagrama de bloques son:

 $\begin{array}{l} b=a-i-j\\ c=G_1b\\ d=k+c-h\\ e=G_2d\\ f=e-g\\ g=G_3a\\ h=G_4f\\ i=G_5f\\ j=G_6c\\ \end{array}$

La matriz del sistema de ecuaciones, considerando que $a$ es la entrada, es:

El código de MATLAB para la solución del sistema de ecuaciones, considerando que la salida es la variable $f$, es:

syms G1 G2 G3 G4 G5 G6

M = [1 0 0 0 0 0 0 1 1 -1; -G1 1 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 -1 1 0 0 0 1 0 0 0; 0 0 -G2 1 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 -1 1 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -G3; 0 0 0 0 -G4 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 -G5 0 0 1 0 0; 0 -G6 0 0 0 0 0 0 1 0];

N = rref(M); % Forma escalonada de fila reducida (eliminación de Gauss-Jordan)

Sol = -N(5,10); % La solución para la variable f corresponde a la fila 5

Resultado:

La función de transferencia es:

$\frac{Y_1(s)}{U_1(s)}=-\frac{G_3-G_1G_2+G_1G_3G_6}{1+G_2G_4+G_1G_6+G_1G_2G_5+G_1G_2G_4G_6}$

Discusión y verificación

Para la verificación del resultado es necesario revisar bien las ecuaciones y el código utilizado, y observar que se utilicen todas las funciones de transferencia del diagrama. La fórmula de Mason del ejemplo resuelto 2.4 entrega el mismo resultado.