2.5. Ecuación de estado a partir de la función de transferencia aplicando la fórmula de Mason (ejercicio resuelto)

Introducción (planteamiento)

Dada la siguiente función de transferencia, obtener la ecuación de estado aplicando la fórmula de Mason:

$G(s)=\frac{2s^2+3}{s^3+6s^2+7s+4}$

$G(s)=\frac{1}{\Delta}\sum_{i=1}^N{P_i\Delta _i}$

Método (plan de solución)

La descomposición de la función de transferencia es el proceso de obtención de la ecuación de estado a partir de la función de transferencia. La idea consiste en darle a la función de transferencia una forma semejante a la fórmula de Mason con el cumplimiento de las siguientes condiciones: todos los lazos tocan todos los caminos (lo cual implica que $\Delta _i=1$) y todos los lazos se tocan entre sí (lo cual significa que o hay pares, ternas, etc. de lazos disjuntos). En dicho caso, la fórmula de Mason es:

$G(s)=\frac{\sum{P_k}}{1-\sum{L_i}}\\  \sum{L_iL_j}=\sum{L_iL_jL_k}=\cdots =0$

La función de transferencia se puede escribir de la siguiente manera, en términos de $s^{-1}$, la cual se parece a la fórmula de Mason:

$G(s)=\frac{2s^{-1}+3s^{-3}}{1-( -6s^{-1}-7s^{-2}-4s^{-3} )}$

Los términos del numerador corresponden a los dos caminos directos y los términos en el paréntesis en el denominador corresponden a los tres lazos, todos en términos de integradores $s^{-1}$. En el proceso, primero se dibuja el camino más largo como integradores en serie (tres en el ejemplo, los cuales dan el orden adecuado del modelo) y luego sobre esos integradores (sin adicionar ningún otro) se dibujan los lazos. Para dos casos especiales las condiciones anteriores se cumplen si todos los caminos salen del (o llegan al) nodo de entrada y todos los lazos salen del (o llegan al) nodo de salida, lo que corresponde a las llamadas forma canónica observable y forma canónica controlable, respectivamente. La solución no es única, por lo que a una función de transferencia le corresponden infinitas representaciones en variables de estado, todas ellas similares.

Pasos: (i) dibujar el gráfico de flujo de señal en términos de integradores y de manera que todos los caminos y lazos se toquen entre sí (usar la FCO y la FCC); (ii) asignar las variables de estado a cada integrador; (iii) escribir las ecuaciones de estado; (iv) analizar el resultado.

Resultados (solución)

El camino directo en términos de integradores más largo, correspondiente a $s^{-3}$, es:

 

Como se pone la ganancia 3 al principio del camino, entonces se utilizará la opción en la cual todos los caminos salen del nodo de entrada y todos los lazos salen del nodo de salida. Los dos caminos son (cada camino tiene la ganancia que le corresponde):

 

Los lazos que se tocan en el nodo de salida (cada lazo tiene la ganancia que le corresponde) y el gráfico de flujo de señal completo son:

 

A cada integrador se le asigna una variable de estado, en cualquier orden, y se le asignan las variables de entrada y salida. Por ejemplo:

 

Leyendo el diagrama (ramas que llegan a cada integrador) se obtienen las ecuaciones de estado en la forma canónica observable (una forma equivalente se obtiene si se asignan las variables de estado en orden de izquierda a derecha):

$\begin{cases} \dot{x}_1=-6x_1+x_2+2u\\ \dot{x}_2=-7x_1+x_3\\ \dot{x}_3=-4x_1+3u\\ \end{cases}$

$\mathbf{\dot{x}}=\left[ \begin{matrix} -6&  1&  0\\ -7&  0&  1\\ -4&  0&  0\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 2\\ 0\\ 3\\\end{array} \right] u\\ y=\left[ \begin{matrix} 1&  0&  0\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}$

El diagrama para la forma canónica controlable es:

 

Las ecuaciones de estado en la forma canónica controlable (una forma equivalente si se asignan las variables de estado en orden de derecha a izquierda) son:

$\begin{cases} \dot{x}_1=-6x_1-7x_2-4x_3+u\\ \dot{x}_2=x_1\\ \dot{x}_3=x_2\\\end{cases}$

$\mathbf{\dot{x}}=\left[ \begin{matrix} -6&  -7&  -4\\ 1&  0&  0\\ 0&  1&  0\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\\end{array} \right] u\\    y=\left[ \begin{matrix} 2&  0&  3\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}$

Discusión y verificación

A una función de transferencia le corresponden infinitas representaciones en variables de estado, dos de las cuales se obtuvieron en este ejemplo. Estas dos formas (forma canónica controlable y forma canónica observable) son de especial interés en el diseño de ciertos tipos de controladores y estimadores del estado, respectivamente. Para la verificación de los resultados, se pueden simular y comparar los resultados con los distintos modelos utilizando el siguiente código (MATLAB obtiene, además, otra forma de la ecuación de estado):

G = tf ([2 0 3], [ 1 6 7 4]); 

S1 = ss(G); 

S2 = ss ([-6 1 0; -7 0 1; -4 0 0], [2; 0; 3], [1 0 0], 0); % FCO

S3 = ss ([-6 -7 -4; 1 0 0; 0 1 0], [1; 0; 0], [2 0 3], 0); % FCC

step (G, S1, S2, S3), legend

La respuesta temporal en los cuatro casos se muestra a continuación, lo que verifica que las soluciones obtenidas son correctas (la primera oscilación al principio se debe a la presencia de ceros imaginarios o complejos cercanos al eje imaginario):