Pasos para la solución de problemas matemáticos

La solución de problemas es el proceso de diseño, evaluación e implementación de una estrategia para responder una pregunta abierta o lograr el objetivo deseado. La solución de problemas matemáticos es un asunto de método. Es interesante que muchas personas confunden la dificultad de un problema con lo tedioso del cálculo para resolverlo, sin saber que el cálculo es solo una etapa de la solución del problema, la cual puede realizarse con el software adecuado.

De hecho, es normal ir directamente a la solución sin analizar el problema y los resultados. Por supuesto que muchas dificultades vienen de vacíos de conocimiento debido a una mala enseñanza o un mal estudio de los temas, pero si se aplican los métodos adecuados se pueden resolver muchos problemas, aunque se tengan falencias en otras áreas. Claro, un buen aprendizaje de temas previos permitirá entender y analizar mejor el problema y su solución.

Esquema para plasmar los pasos de la solución de problemas

Algunos estudios muestran que la competencia en matemáticas y ciencias contribuye significativamente a la solución de problemas y la relación matemática-ciencia está significativamente relacionada con la competencia para resolver problemas. Incluso, si se observa bien los pasos para la solución de problemas están relacionados con la estructura para la presentación de trabajos científicos (IMRAD): Introducción (comprensión del problema), Métodos (plan de solución), Resultados (Cálculo de la solución) y Discusión (revisión e interpretación de la solución). En [8] se describe con detalle los aspectos más importantes para la escritura de un informe tipo artículo científico.

A continuación, se presenta un método muy conocido de solución de problemas [2], aplicado en nuestro caso a problemas matemáticos, complementado con ejemplos y algunas experiencias personales. 

En este enlace se ilustra la aplicación del método a diversos problemas.

Pasos para la solución de problemas:

1. Comprensión del problema (INTRODUCCIÓN)

• Identificar claramente los datos (parámetros, información conocida) e incógnitas (variables, información desconocida).
• Identificar claramente lo que se pide.
• Identificar o proponer suposiciones.
• Revisar el conocimiento y comprensión de los conceptos necesarios para la solución del problema.
• Formular el problema en palabras propias.
• Formular preguntas adecuadas acerca del problema de manera que ayuden a esclarecerlo.
• Dibujar un diagrama del problema (si es posible).
• Proponer hipótesis.

2. Plan de solución (MÉTODOS)

• Buscar la semejanza e identificar patrones conocidos con otros problemas ya resueltos.
• Identificar los posibles enfoques de solución.
• Imaginar un problema parecido pero más sencillo. Utilizar la analogía.
• Distinguir entre un enfoque difícil y corto y uno fácil, pero largo y tedioso.
• Formular matemáticamente el problema en caso de problemas de modelado matemático.
• Especificar los pasos a seguir (operaciones y resultados intermedios) y vislumbrar las dificultades y otros caminos a seguir ("si… entonces…").
• No preocuparse por memorizar las fórmulas (normalmente se dan y si no se dan su recuerdo será más simple con la práctica)
• Identificar las operaciones que se necesitarán (cálculo, ecuaciones, desigualdades, sistemas de ecuaciones, fracciones parciales, etc.)
• Verificar que se utilizan todos los datos del problema
• Imaginar en lo posible la forma y magnitud de la solución

3. Cálculo de la solución (RESULTADOS)

• Aplicar el plan y obtener la solución de manera ordenada y clara.
• El orden y claridad son fundamentales para desarrollar la lógica de la solución de los problemas. 
• Presentar cada resultado intermedio en el lugar adecuado.
• Enmarcar, resaltar o numerar los resultados intermedios importantes.
• Usar sangría, numeración o líneas horizontales y verticales, dado que esto permite ver mejor la lógica del problema y buscar los errores. 
• Recordar la diferencia entre los signos “igual” e “implicación”. 
• Toda etapa del problema debe tener la forma "X = Y" y no "X" o "= Y".
• Explicar cada paso y su viabilidad. Recordar y especificar el objetivo de cada paso. ¿Por qué estoy haciendo esto?
• Revisar inmediatamente cada operación realizada.
• Si aparece un escollo recordar el plan y sus ramificaciones o buscar nuevos caminos. 

4. Revisión e interpretación de la solución (DISCUSIÓN)

• Verificar la solución por otros métodos
• Observar detenidamente la forma y contenido de la solución y buscar su relación con el problema (¿si se encontró lo que se buscaba?)
• Verificar que se utilizaron todos los datos del problema.
• Buscar sentido a la respuesta y analizar los casos límites (“si … entonces …”). Por ejemplo: 
• ¿Si tiene sentido que la función crezca? 
• ¿Si debe haber una función trigonométrica en la solución? 
• ¿El número de términos tiene sentido? 
• ¿Si es normal que un valor no se haya podido encontrar y por lo tanto lo consideré como cero? 
• ¿Si son correctas las unidades? 
• ¿Un valor tan grande o pequeño es posible?
• ¿Qué pasa cuando la variable tiende a cero o al infinito? ¿Tienen sentido esos límites?
• Buscar posibilidades de simplificación de algunos pasos del procedimiento.
• Si se resolvió bien el problema y se entendió, revisar el diagrama de los pasos de la solución.
• Aprender del problema: explicar por qué funcionó el plan, qué problemas se tuvieron y cómo se abordaron, qué ideas son útiles para otros problemas.

Referencias y otro material útil

1. Cómo plantear y resolver problemas (Wikipedia)
2. George Pólya (1945). How to Solve It, Princeton (1, 2) 
3. The Problem of Learning to Teach
4. Estrategias para resolver problemas
5. Five Processes of Mathematical Thinking
6. Problem Solving VALUE Rubric
7. The acquisition of problem solving competence: evidence from 41 countries that math and science education matters
8. Writing a scientific article: A step-by-step guide for beginners