EP1.3 Método numérico de Euler para ecuaciones diferenciales de primer orden

Dadas las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden, (i) obtener la respectiva ecuación recursiva por método de Euler con el paso $T_s$ (o período de muestreo) que se indica; (ii) hallar manualmente los primeros cinco valores de la solución numérica; (iii) implementar el método en MATLAB y graficar la solución; (iv) comparar el resultado con el obtenido con las funciones dsolve y ode45 de MATLAB; (v) interpretar el resultado. Ver los ejercicios propuestos 2.6 para la aplicación del método de Euler a ecuaciones diferenciales de orden superior.

1. $\dot{y}+2y=0,y(0)=1$, $T_s=0.1$
2. $\dot{P}=kP,P(0)=1$, $T_s=0.1$, $k=0.2~\mathrm{s}^{-1}$
3. $\dot{y}=\frac{t}{y},y(0)=0$, $T_s=0.1$
4. $\dot{y}=\frac{t}{y},y(0)=1$, $T_s=0.1$
5. $\dot{y}=\frac{y}{t},y(0)=0$, $T_s=0.1$
6. $\dot{y}=\frac{y}{t},y(1)=0$, $T_s=0.1$
7. $\dot{y}=\frac{y}{t},y(1)=1$, $T_s=0.2$
8. $\dot{y}=y(1+\frac{1}{t}) ,y(0)=1$, $T_s=0.1$
9. $\dot{y}=y(1+\frac{1}{t}) ,y(1)=0$, $T_s=1$
10. $\dot{y}=y(1+\frac{1}{t}) ,y(1)=1$, $T_s=0.2$
11. $\dot{y}=4\sqrt{y}\cos 2t,y(0)=0$, $T_s=0.1$
12. $\dot{h}=-A_o{{\sqrt{2gh}/A_t}},h(0)=1$, $T_s=0.8$. Donde $g=9.8~\mathrm{m/{s}^2}$, $A_o=\pi (0.05)^2~\mathrm{m^2}$  y $A_t=\pi (1)^2~\mathrm{m^2}$.
13. $\dot{T}=k(T-T_m),T(0)=200$, $T_s=0.2$. Donde $k=-0.2~\mathrm{s^{-1}}$ y $T_m=20~\mathrm{°C}$
14. $\dot{P}=P(a-bP),P(0)=1,a=1,b=2$, $T_s=0.1$
15. $\dot{P}=P(a-bP),P(0)=1,a=2,b=1$, $T_s=0.1$
16. $T\dot{y}+y=1,T=0.5,y(0)=0$, $T_s=0.1$
17. $\dot{y}+5y=e^{-t},y(0)=1$ , $T_s=0.1$
18. $\dot{y}+5y=1+e^{-5t},y(0)=1$, $T_s=0.2$
19. $\dot{y}-y=2t,y(0)=2$, $T_s=0.1$
20. $\dot{y}+2y=3e^{-2t},y(0)=2$, $T_s=0.5$
21. $\dot{y}+3y=\sin t,y(0)=0$, $T_s=0.1$
22. $m\dot{v}=mg-fv,v(0)=0$. Donde $g=9.8~\mathrm{m/{s}^2}$, $m=1~\mathrm{kg}$ y $f=0.01~\mathrm{kg/s}$
23. $\dot{V}=\lambda e^{-\alpha t}V,V(0)=2$, $T_s=0.5$. Donde $\alpha =0.3$ y $\lambda =1$
24. $Ldi/dt+Ri=V_e(t), i(0)=0$, $T_s=0.1$. Donde, $V_e(t) =10\mathrm{sen}0.1t$, $R=10~\mathrm{\Omega}$ y $L=0.1~\mathrm{H}$
25. $Ldi/dt+Ri=V_e(t),i(0)=0$, $T_s=0.5$. Donde los parámetros son las mismos del ejercicio anterior
26. $\mathbf{\dot{x}}=\left[ \begin{matrix} 2& 3\\ 2& 1\\\end{matrix} \right] \mathbf{x},\mathbf{x}\left( 0 \right) =\left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\\end{array} \right] ,T_s=0.1$
27. $\mathbf{\dot{x}}=\left[ \begin{matrix} 2& 3\\ 2&1\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 1\\ -1\\\end{array} \right] u,u=1,\mathbf{x}(0) =\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\\end{array} \right] , T_s=0.1$
28. $\mathbf{\dot{x}} = \left[ \begin{matrix} 0 & 1\\  -1& 0\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1\\\end{array} \right] u, u=1, \mathbf{x}(0)=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0\\\end{array} \right], T_s=0.1$
29. $\dot{y}=4\sqrt{y}\cos 2t,y(1)=1$, $T_s=0.1$
30. (*) $\dot{y}+2y=u_s(t-1),y(0)=1$ . Entrada definida por partes
31. (*) $T\dot{y}+y=\left\{ \begin{matrix}     0,&  t<1\\ 1,& t\geqslant 1\\\end{matrix} \right., T=1.5,y(0)=2$. Entrada definida por partes