EP4.5. Controlador de asignación de polos por realimentación del estado

Dados los siguientes modelos de plantas de tiempo continuo, (i) determinar la controlabilidad del modelo lineal, incluyendo el número de condición; (ii) determinar el período de muestreo, de acuerdo con el tiempo de crecimiento de la respuesta temporal a un escalón, y discretizar el modelo de la planta; (iii) diseñar con la función place de MATLAB un controlador de asignación de polos por realimentación del estado de tiempo discreto de manera que el sistema se estabilice de manera más rápida en el punto de equilibrio (probar con diferentes ubicaciones de los polos deseados y verificar los polos en lazo cerrado); (iv) diseñar con MATLAB un controlador con integrador y eliminación del error en estado estacionario para una entrada escalón, una salida y diferentes ubicaciones de los polos discretos deseados (en el origen, cerca de 0.5 y cerca de 0.9); (v) simular en Simulink cada sistema de control con un cambio de la referencia (cuando aplique), una perturbación tipo escalón en un momento determinado y una saturación arbitraria y adecuada del actuador; (vi) interpretar los resultados, prestando atención al esfuerzo de control y a la saturación. Ver los casos de estudio como referencia de la tarea a realizar.

1. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} 2&  0\\ -3&  3\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 1\\ 3\\\end{array} \right] u$
2. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -1&  0\\ 0&  -2\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 1\\ -1\\\end{array} \right] u$
3. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -1&  0\\ 0&  -2\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\\end{array} \right] u$
4. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} 1&  0\\ 2&  -3\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\\end{array} \right] u$
5. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -1&  0\\ 0&  -2\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{matrix} 1&  0\\ 0&  -2\\\end{matrix} \right] \mathbf{u}$
6. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -0.2&  0\\ 0.25&  0\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 2\\ 0\\\end{array} \right] u$
7. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} 1&  1\\ 1&  2\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 2\\ 0\\\end{array} \right] u$
8. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} 0&  2\\ 2&  0\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 0.5\\ 0\\\end{array} \right] u$
9. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -10&  -0.5\\ 0.5&  -1\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 10\\ 0\\\end{array} \right] u$
10. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -5&  -2&  -1\\ 4&  0&  0\\ 0&  1&  0\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 0.5\\ 0\\ 0\\\end{array} \right] u$
11. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -5&  -4&  0\\ 1&  0&  0\\ 0&  1&  0\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 2\\ 0\\ 0\\\end{array} \right] u$
12. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -3&  -3&  -2\\ 2&  0&  0\\ 0&  1&  0\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 0.5\\ 0\\ 0\\\end{array} \right] u$
13. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -2.6&  -2.6&  -1.2\\ 2&  0&  0\\ 0&  1&  0\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\\end{array} \right] u$
14. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -1&  0&  0\\ 0&  1&  0\\ 0&  1&  -2\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 1\\ -1\\ 0\\\end{array} \right] u$    (sistema estabilizable)
15. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -3&  -3&  -2\\ 2&  0&  0\\ 0&  1&  0\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{matrix} 0.5&  0\\ 0&  1\\ 0&  0\\\end{matrix} \right] \mathbf{u}$
16. $\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -1&  1&  0\\ 1&  -3&  1\\ 0&  1&  -1\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{matrix} 0&  0\\ 1&  2\\ 0&  2\\\end{matrix} \right] \mathbf{u}$
17. $\left[ \begin{array}{c} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2\\ \dot{x}_3\\ \dot{x}_4\\\end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} 0&  0&  1&  0\\ 0&  0&  0&  1\\ -\frac{k_a+k_c}{m_a}&  \frac{k_c}{m_a}&  -\frac{f_a}{m_a}&  0\\ \frac{k_c}{m_b}&  -\frac{k_b+k_c}{m_b}&  0&  -\frac{f_b}{m_b}\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\\end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \frac{1}{m_a}\\ 0\\\end{array} \right] u$   $m_a=m_b=1,f_a=f_b=0.7,k_a=k_b=k_c=5$
18. $\left[ \begin{array}{c} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2\\\end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} 0&  1/C\\ -1/L&  -R/L\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\\end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1/L\\\end{array} \right] u$,    $R = 100, L = 0.1, C=0.001$