EP1.7. Transformada inversa de Laplace

Dadas las siguientes transformadas de Laplace, (i) calcular la función temporal continua $y(t)$ (transformada inversa de Laplace) a partir de la tabla de transformadas básicas y propiedades (los ejercicios de más abajo pueden utilizar las propiedades anteriores a esa); (ii) comprobar la solución con la función ilaplace de MATLAB. Nota: si el ejercicio se puede resolver de diferentes maneras (aplicando una propiedad u otra, o simplemente aplicando una transformada básica), se recomienda hacerlo por cada una de ellas.

A. Transformadas básicas y linealidad

1. $Y(s)=\frac{4}{s}$
2. $Y(s)=\frac{3}{s^2}$
3. $Y(s)=\frac{1}{s^3}$
4. $Y(s)=\frac{s+1}{s^5}$
5. $Y(s)=\frac{s^3+7s+1}{s^5}$
6. $Y(s)=\frac{4}{s+1}$
7. $Y(s)=\frac{4}{s-1}$
8. $Y(s)=\frac{4}{s+1}-\frac{4}{s^2+1}$
9. $Y(s)=\frac{1}{s^2+2}-\frac{s}{s^2+2}$
10. $Y(s)=\frac{1}{s^2+\frac{1}{4}}-\frac{s}{s^2+\frac{1}{9}}$
11. $Y(s)=\frac{1}{2}\left( \frac{3.5}{s}-\frac{1}{s+1.4}-\frac{4.8}{s^2+7.2}+\frac{2.3s}{s^2+3.8} \right) $

B. Traslación compleja

1. $Y(s)=\frac{1}{s-1}$
2. $Y(s)=\frac{1}{(s-1)^2}$
3. $Y(s)=\frac{s}{s^2+4s+7}=\frac{s}{(s+2)^2+3}$
4. $Y(s)=\frac{3}{s^2-2s+1}$
5. $Y(s)=\frac{1}{(s+1)^2}$
6. $Y(s)=\frac{s-2}{s^2+2s+1}$
7. $Y(s)=\frac{s-2}{s^2-4s+4}$
8. $Y(s)=\frac{1}{(s+1)^6}$
9. $Y(s)=\frac{3}{(s+1)^2+4}$
10. $Y(s)=\frac{3}{(s-8)^2+4}$
11. $Y(s)=\frac{s+1}{(s+1)^2+4}$
12. $Y(s)=\frac{s-7}{(s-7)^2+4}$
13. $Y(s)=\frac{s+5}{(s+1)^2+4}$
14. $Y(s)=\frac{s+1}{s^2+2s+5}$
15. $Y(s)=\frac{s-7}{s^2-14s+53}$
16. $Y(s)=\frac{s+1}{(s-7)^2+4}$
17. $Y(s)=\frac{s}{(s-7)^2+4}-\frac{1}{(s+2)^2+9}$
18. $Y(s)=\frac{1}{4}\left[ \frac{1}{(s+0.2)^3}-\frac{5s}{(s+0.5)^2+4}-\frac{3}{(s+2.5)^2+8} \right] $
19. $Y(s)=\frac{s+1}{s^2-2s+2}$
20. $Y(s)=\frac{s-1}{s^2-2s+3.8}$
21. $Y(s)=\frac{s+3}{s^2+6s+13}$

C. Fracciones parciales con linealidad y traslación compleja

1. $Y(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}$
2. $Y(s)=\frac{s}{(s+1)(s+2)}$
3. $Y(s)=\frac{s^2}{(s+1)(s+2)}$
4. $Y(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)(s+3)}$
5. $Y(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)}$
6. $Y(s)=\frac{s^2}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)}$
7. $Y(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)^2}$
8. $Y(s)=\frac{1}{(s+1)^2(s+2)^2}$
9. $Y(s)=\frac{1}{(s+3)(s+4)}+\frac{1}{s(s+5)^2}$
10. $Y(s)=\frac{1}{(s+3)(s+4)}+\frac{1}{(s+5)^2}$
11. $Y(s)=\frac{1}{s^2+4s+5}+\frac{1}{(s+5)^8}$
12. $Y(s)=\frac{1}{(s+1)(s^2+4)}$
13. $Y(s)=\frac{1}{(s+1)^2(s^2+4)}$
14. $Y(s)=\frac{1}{s(s+1)(s+2)^2}$
15. $Y(s)=\frac{1}{s(s+1)(s+2)^2(s^2+3)}$
16. $Y(s)=\frac{1}{(s+1)\left[ (s+1)^2+4 \right]}$
17. $Y(s)=\frac{1}{(s-3)\left[ (s-3)^2+4 \right]}$
18. $Y(s)=\frac{1}{(s-4)\left[ (s-3)^2+4 \right]}$
19. $Y(s)=\frac{s-3}{(s-4)\left[ (s-3)^2+4 \right]}$
20. $Y(s)=\frac{1}{(s+1)(s^2+2s+5)}$
21. $Y(s)=\frac{1}{(s^2+2s+4)(s^2+2s+5)}$

D. Traslación real

En este ejercicio, indicar la función $y(t)$ en tres formas: por partes, con la función escalón unitario y gráficamente.

1. $Y(s)=\frac{e^{-2s}}{s}$
2. $Y(s)=\frac{3e^{-4s}}{s}$
3. $Y(s)=\frac{e^{-2s}}{s^2}$
4. $Y(s)=\frac{e^{-2s}}{s^4}$
5. $Y(s)=\frac{e^{-3s}}{s+3}$
6. $Y(s)=\frac{e^{-3s}}{s^2+9}$
7. $Y(s)=\frac{se^{-3s}}{s^2+9}$
8. $Y(s)=\frac{e^{-6s}}{s^2+5}$
9. $Y(s)=\frac{e^{-6s}}{s+5}$
10. $Y(s)=\frac{e^{-6s}}{s+5}$
11. $Y(s)=\frac{1}{s}-\frac{e^{-2s}}{s}+\frac{3e^{-4s}}{s^2}+\frac{2e^{-7s}}{s+1}$
12. $Y(s)=\frac{e^{-6s}}{(s+5)^2}$
13. $Y(s)=\frac{e^{-2s}}{(s-3)^3}$
14. $Y(s)=\frac{(s+1)e^{-3s}}{(s+1)^2+9}$
15. $Y(s)=\frac{(s-2)e^{-3s}}{(s+3)^2+16}$
16. $Y(s)=\frac{e^{-6s}-3e^{-7s}+2e^{-4s}}{(s+5)^2}$

E. Convolución

1. $Y(s)=\frac{1}{s(s+1)}$
2. $Y(s)=\frac{1}{s^2}$
3. $Y(s)=\frac{1}{s^2(s+1)}$
4. $Y(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}$
5. $Y(s)=\frac{1}{s(s^2+1)}$
6. $Y(s)=\frac{1}{s^2(s^2+1)}$

F. Función delta de Dirac

1. $Y(s)=\frac{s}{s+1}$
2. $Y(s)=\frac{s+3}{s+1}$
3. $Y(s)=\frac{s^2}{s^2+1}$
4. $Y(s)=\frac{(s+1)^2}{(s+1)^2+4}$
5. $Y(s)=\frac{s^2+4s+5}{s^2+4s+6}$
6. (*) $Y(s)=\frac{s^2}{s+1}$

G. Fracciones parciales y otras propiedades

1. (*) $Y(s)=\frac{s^3}{(s+1)(s+2)}$
2. $Y(s)=\frac{e^{-4s}}{(s+1)(s+2)(s+3)}$
3. $Y(s)=\frac{e^{-3s}}{(s+1)(s+2)}$
4. $Y(s)=\frac{e^{-3s}}{(s+1)\left[ (s+1)^2+4 \right]}$
5. $Y(s)=\frac{(s+1)e^{-3s}}{(s^2+2s+4)(s^2+2s+5)}$

H. Teoremas del valor inicial y valor final

Aplicar los teoremas del valor inicial y el valor final a los ejercicios anteriores. Es decir, calcular el valor inicial y el valor final a partir de la función temporal y a partir de su transformada de Laplace, y verificar que coinciden.