Dadas las siguientes funciones temporales, (i) calcular la transformada de Laplace aplicando las transformadas básicas y las propiedades (los ejercicios de más abajo pueden utilizar las propiedades anteriores a esa); (ii) verificar la solución con la función laplace de MATLAB. Nota: si el ejercicio se puede resolver de diferentes maneras (aplicando una propiedad u otra, o simplemente aplicando una transformada básica), se recomienda hacerlo con cada una de ellas.
A. Transformadas básicas y linealidad
- $y(t)=1-t+\sin t$
- $y(t)=4-3t^4+\cos 3t$
- $y(t)=\cos 4t-4\sin 3t$
- $y(t)=1.23e^{0.8t}+4.3e^{-3t}+\frac{1}{5}e^{-6.5t}$
- $y(t)=\frac{1-4t^2}{5}$
- $y(t)=(t+3)^2$
- $y(t)=(t^2+4t+2)^2$
- $y(t)=(t+5)^4$
- $y(t)=\sin (2t+4)$
- $y(t)=\cos(t-6)$
- $y(t)=2\sin 3t\cos 3t$
B. Traslación compleja
- $y(t)=te^t$
- $y(t)=te^{-t}$
- $y(t)=t^3e^{-5t}$
- $y(t)=e^{8t}e^{-5t}$
- $y(t)=4e^t$
- $y(t)=e^{-6t}\sin 8t$
- $y(t)=e^{2.4t}\sin 6.5t$
- $y(t)=e^{-\frac{t}{3}}\sin (t/2)$
- $y(t)=e^{-6t}\sin (-8t)$
- $y(t)=e^{-4t}\cos 3t$
- $y(t)=e^{-8t}\cos (-3t)$
- $y(t)=e^{-t}\cos (-6t/5) $
- $y(t)=t^{12}e^{21t}$
- $y(t)=t^4e^{-3.5t}$
- $y(t)=t^4e^{-\frac{t}{5}}$
- $y(t)=e^{-4t}\cos 3(t+2)$
C. Traslación real
Adicionalmente, representar la función $y(t)$ en las tres formas: por partes, gráficamente y con la función escalón unitario.
- $y(t)=(t-2) u_s(t-2)$
- $y(t)=u_s(t-2)$
- $y(t)=(t-2)^2u_s(t-2)$
- $y(t)=e^{2(t-1)}u_s(t-1)$
- $y(t)=tu_s(t-2)$
- $y(t)=t^2u_s(t-2)$
- $y(t)=(t-3)^2u_s(t-2)$
- $y(t)=e^{2t}u_s(t-1)$
- $y(t)=(t-1)e^{2t}u_s(t-1)$
- $y(t)=\left\{ \begin{matrix} 0,& 0\leqslant t<2\\ 1,& 2\leqslant t<4\\ 0,& t\geqslant 4\\\end{matrix} \right. $
- $y(t)=\left\{ \begin{matrix} -1,& 0\leqslant t<1\\ t-2,& 1\leqslant t<3\\ 3,& t\geqslant 3\\\end{matrix} \right. $
- $y(t)=\left\{ \begin{matrix} t,& 0\leqslant t<2\\ 4-t,& 2\leqslant t<4\\ 0,& t\geqslant 4\\\end{matrix} \right. $
- $y(t)=tu_s(t-2)+u_s(t-4)$
- $y(t)=(t-1)\left[ u_s(t-2)+u_s(t-4) \right] $
- Función dada por el siguiente código de MATLAB:
- sym t; y = t^2 - (t^2 - 1)*heaviside(t-2) - heaviside(t-6); fplot(y), ylim([0 5]), xlim([0 10]), grid, xlabel('t'), ylabel('y(t)')
- Función gráfica:
- Función gráfica
D. Convolución
- $y(t)=1*t=\int\limits_0^t{(t-\tau )d\tau}=t*1=\int\limits_0^t{\tau d\tau}$
- $y(t)=t*e^{-t}=\int\limits_0^t{\tau e^{t-\tau}d\tau}=e^{-t}*t=\int\limits_0^t{e^{-\tau}(t-\tau )d\tau}$
- $y(t)=\int\limits_0^t{\tau d\tau}=t*1$
- $y(t)=\int\limits_0^t{(t-\tau )d\tau}$
- $y(t)=\int\limits_0^t{\tau (t-\tau )d\tau}$
- $y(t)=\int\limits_0^t{\tau \cos\mathrm{(}t-\tau )d\tau}$
- $y(t)=\int\limits_0^t{\cos ^2(\tau )d\tau}$
- $y(t)=\int\limits_0^t{e^{\tau}\cos\mathrm{(}t-\tau )d\tau}$
E. Derivada de la transformada
- $y(t)=te^t$
- $y(t)=t$
- $y(t)=t^2$
- $y(t)=t\sin 4t$
- $y(t)=t^2\sin 4t$
- $y(t)=e^{-3t}t^2\sin 4t$
- $y(t)=e^{-3t}t^2\sin 4tu_s(t-1)$
F. Función delta de Dirac
- $y(t)=3\delta (t-4)$
- $y(t)=\delta (t-4)+2\delta (t-6)$
- $y(t)=(t-4)\delta (t-4)$
- $y(t)=e^t\delta (t)$
- $y(t)=e^{t-6}\delta (t)$
- $y(t)=e^t\delta (t)$
- $y(t)=\sin (t-2)\delta (t-1)$
- $y(t)=e^{-6t}\cos t\sin (t-2)\delta (t-1)$
- $y(t)=e^{t-2}u_s(t-2)\delta (t-1)$
- $y(t)=e^{t-2}u_s(t-2)\delta (t-5)$
- $y(t)=e^t*\delta (t)$
G. Teoremas del valor inicial y valor final
Aplicar los teoremas del valor inicial y el valor final a los ejercicios anteriores. Es decir, calcular el valor inicial y el valor final a partir de la función temporal y a partir de su transformada de Laplace, y verificar que coinciden.
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