EP1.6. Transformada de Laplace

Dadas las siguientes funciones temporales, (i) calcular la transformada de Laplace aplicando las transformadas básicas y las propiedades (los ejercicios de más abajo pueden utilizar las propiedades anteriores a esa); (ii) verificar la solución con la función laplace de MATLAB. Nota: si el ejercicio se puede resolver de diferentes maneras (aplicando una propiedad u otra, o simplemente aplicando una transformada básica), se recomienda hacerlo con cada una de ellas.

A. Transformadas básicas y linealidad

1. $y(t)=1-t+\sin t$
2. $y(t)=4-3t^4+\cos 3t$
3. $y(t)=\cos 4t-4\sin 3t$
4. $y(t)=1.23e^{0.8t}+4.3e^{-3t}+\frac{1}{5}e^{-6.5t}$
5. $y(t)=\frac{1-4t^2}{5}$
6. $y(t)=(t+3)^2$
7. $y(t)=(t^2+4t+2)^2$
8. $y(t)=(t+5)^4$
9. $y(t)=\sin (2t+4)$
10. $y(t)=\cos(t-6)$
11. $y(t)=2\sin 3t\cos 3t$

B. Traslación compleja

1. $y(t)=te^t$
2. $y(t)=te^{-t}$
3. $y(t)=t^3e^{-5t}$
4. $y(t)=e^{8t}e^{-5t}$
5. $y(t)=4e^t$
6. $y(t)=e^{-6t}\sin 8t$
7. $y(t)=e^{2.4t}\sin 6.5t$
8. $y(t)=e^{-\frac{t}{3}}\sin (t/2)$
9. $y(t)=e^{-6t}\sin (-8t)$
10. $y(t)=e^{-4t}\cos 3t$
11. $y(t)=e^{-8t}\cos (-3t)$
12. $y(t)=e^{-t}\cos (-6t/5)$
13. $y(t)=t^{12}e^{21t}$
14. $y(t)=t^4e^{-3.5t}$
15. $y(t)=t^4e^{-\frac{t}{5}}$
16. $y(t)=e^{-4t}\cos 3(t+2)$

C. Traslación real

Adicionalmente, representar la función $y(t)$ en las tres formas: por partes, gráficamente y con la función escalón unitario.

1. $y(t)=(t-2) u_s(t-2)$
2. $y(t)=u_s(t-2)$
3. $y(t)=(t-2)^2u_s(t-2)$
4. $y(t)=e^{2(t-1)}u_s(t-1)$
5. $y(t)=tu_s(t-2)$
6. $y(t)=t^2u_s(t-2)$
7. $y(t)=(t-3)^2u_s(t-2)$
8. $y(t)=e^{2t}u_s(t-1)$
9. $y(t)=(t-1)e^{2t}u_s(t-1)$
10. $y(t)=\left\{ \begin{matrix}  0,& 0\leqslant t<2\\  1,& 2\leqslant t<4\\ 0,& t\geqslant 4\\\end{matrix} \right.$
11. $y(t)=\left\{ \begin{matrix}  -1,&  0\leqslant t<1\\   t-2,& 1\leqslant t<3\\  3,&                       t\geqslant 3\\\end{matrix} \right.$
12. $y(t)=\left\{ \begin{matrix}  t,& 0\leqslant t<2\\ 4-t,& 2\leqslant t<4\\  0,&                       t\geqslant 4\\\end{matrix} \right.$
13. $y(t)=tu_s(t-2)+u_s(t-4)$
14. $y(t)=(t-1)\left[ u_s(t-2)+u_s(t-4) \right]$
15. Función dada por el siguiente código de MATLAB: 
• sym t; y = t^2 - (t^2 - 1)*heaviside(t-2) - heaviside(t-6); fplot(y), ylim([0 5]), xlim([0 10]), grid, xlabel('t'), ylabel('y(t)')
16. Función gráfica:
• 
  
  
  
  
17. Función gráfica
• 
  
  
  
  

D. Convolución

1. $y(t)=1*t=\int\limits_0^t{(t-\tau )d\tau}=t*1=\int\limits_0^t{\tau d\tau}$
2. $y(t)=t*e^{-t}=\int\limits_0^t{\tau e^{t-\tau}d\tau}=e^{-t}*t=\int\limits_0^t{e^{-\tau}(t-\tau )d\tau}$
3. $y(t)=\int\limits_0^t{\tau d\tau}=t*1$
4. $y(t)=\int\limits_0^t{(t-\tau )d\tau}$
5. $y(t)=\int\limits_0^t{\tau (t-\tau )d\tau}$
6. $y(t)=\int\limits_0^t{\tau \cos\mathrm{(}t-\tau )d\tau}$
7. $y(t)=\int\limits_0^t{\cos ^2(\tau )d\tau}$
8. $y(t)=\int\limits_0^t{e^{\tau}\cos\mathrm{(}t-\tau )d\tau}$

E. Derivada de la transformada

1. $y(t)=te^t$
2. $y(t)=t$
3. $y(t)=t^2$
4. $y(t)=t\sin 4t$
5. $y(t)=t^2\sin 4t$
6. $y(t)=e^{-3t}t^2\sin 4t$
7. $y(t)=e^{-3t}t^2\sin 4tu_s(t-1)$

F. Función delta de Dirac

1. $y(t)=3\delta (t-4)$
2. $y(t)=\delta (t-4)+2\delta (t-6)$
3. $y(t)=(t-4)\delta (t-4)$
4. $y(t)=e^t\delta (t)$
5. $y(t)=e^{t-6}\delta (t)$
6. $y(t)=e^t\delta (t)$
7. $y(t)=\sin (t-2)\delta (t-1)$
8. $y(t)=e^{-6t}\cos t\sin (t-2)\delta (t-1)$
9. $y(t)=e^{t-2}u_s(t-2)\delta (t-1)$
10. $y(t)=e^{t-2}u_s(t-2)\delta (t-5)$
11. $y(t)=e^t*\delta (t)$

G. Teoremas del valor inicial y valor final

Aplicar los teoremas del valor inicial y el valor final a los ejercicios anteriores. Es decir, calcular el valor inicial y el valor final a partir de la función temporal y a partir de su transformada de Laplace, y verificar que coinciden.