EP1.2. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

Dadas las siguientes ecuaciones diferenciales y sus condiciones iniciales, (i) especificar las características de la ecuación (tipo, orden, variable dependiente, variable independiente, término independiente); (ii) hallar la solución genera por el método de las raíces características para la solución de la ecuación homogénea y el método de coeficientes indeterminados para la solución de la ecuación no homogénea; (iii) reemplazar la solución en la ecuación diferencial para verificar el resultado; (iv) resolver el problema de valor inicial para hallar la solución particular de toda la ecuación diferencial; (v) bosquejar la forma de la solución; (vi) utilizar las herramienta de matemáticas simbólicas de MATLAB para verificar los resultados y graficar la solución particular, tal y como se muestra en el código de MATLAB que se puede acceder desde este sitio web; (vii) dada la solución, obtener la ecuación diferencial homogénea.

1. $\ddot{y}+2\dot{y}+3y=0,y(0)=1,\dot{y}(0)=2$
2. $\ddot{y}+3\dot{y}+2y=1,y(0)=\dot{y}(0)=0$
3. $\ddot{y}+2\dot{y}+y=1,y(0)=\dot{y}(0)=0$
4. $\ddot{y}=2, y(0) =1,\dot{y}(0) =0$
5. $\dddot{y}=1,y(0)=\dot{y}(0)=\ddot{y}(0)=0$
6. $\overset{(4)}{y}+2\ddot{y}+y=1,y(0)=\dot{y}(0)=\ddot{y}(0)=\dddot{y}(0)=0$
7. $\overset{(4)}{y}+2\ddot{y}+y=0,y(0)=\dot{y}(0)=\ddot{y}(0)=\dddot{y}(0)=0$. Resolverla mentalmente sin un procedimiento matemático y explicar.
8. $\ddot{y}+y=\sin t,y(0)=\dot{y}(0)=0$
9. $\overset{(4)}{y}+2\ddot{y}+y=1,y(0)=\dot{y}(0)=\ddot{y}(0)=\dddot{y}(0)=0$
10. $\dddot{y}+1.25\ddot{y}+0.4\dot{y}=1+\cos 2.5t,y(0)=1,\dot{y}(0)=0,\ddot{y}(0)=0$
11. $\dddot{y}+4\ddot{y}+3\dot{y}=\dot{u}+u,u=e^{-t},y(0)=\dot{y}(0)=\ddot{y}(0)=0$
12. $\ddot{y}+y=f(t),y(0)=0,\dot{y}(0)=1,f(t)=\left\{ \begin{matrix}  0,& 0\leqslant t<\pi\\ 1,& \pi \leqslant t<2\pi\\  0,& t\geqslant 2\pi\\\end{matrix} \right.$
13. $\overset{(5)}{y}+\overset{(4)}{y}=1+t\sin t+\cos t,\mathrm{c.i. = 0}$
14. $m\ddot{y}+f\dot{y}+ky=F_{ext}(t),y(0)=0.5,\dot{y}(0)=0$. La ecuación modela el movimiento de un sistema masa-resorte en un medio viscoso, donde $y(t)$ es el desplazamiento en metros de la masa con respecto a la posición de equilibrio, $m=1~\mathrm{kg}$ es la masa del cuerpo y $f=0.1~\mathrm{kg/s}$ es la fricción viscosa (depende del medio y la forma del cuerpo), $k=4~\mathrm{N/m }$ es el valor de la constante elástica. Si la fuerza externa es igual a cero ($F_{ext}=0~\mathrm{N}$) se tiene un movimiento libre amortiguado. Indicar el cuasiperíodo y la cuasifrecuencia angular.
15. $m\ddot{y}+f\dot{y}+ky=F_{ext}(t),y(0)=0.5,\dot{y}(0)=0$. Con $m=1$, $f=0$, $k=4$ y $F_{ext}=0$. Movimiento libre no amortiguado. Indicar la amplitud, el período, la frecuencia angular y el valor medio del desplazamiento alrededor del cual oscila el sistema.
16. $m\ddot{y}+f\dot{y}+ky=F_{ext}(t),y(0)=0.5,\dot{y}(0)=0$. Con $m=1$, $f=0.1$, $k=4$ y $F_{ext}=1$. Movimiento forzado amortiguado. Indicar el cuasiperíodo, la cuasifrecuencia angular y el valor del desplazamiento en el que se estabiliza.
17. $m\ddot{y}+f\dot{y}+ky=F_{ext}(t),y(0)=0.5,\dot{y}(0)=0$. Con $m=1$, $f=0$, $k=4$ y $F_{ext}=1$. Movimiento forzado no amortiguado. Indicar la amplitud, el período, la frecuencia angular y el valor medio del desplazamiento alrededor del cual oscila el sistema.
18. $m\ddot{y}+f\dot{y}+ky=F_{ext}(t),y(0)=0.5,\dot{y}(0)=0$. Con $m=1$, $f=0$, $k=4$ y $F_{ext}=\sin2t$. Movimiento forzado no amortiguado con resonancia. Explicar el fenómeno de resonancia.
19. $m\ddot{y}+f\dot{y}+ky=F_{ext}(t),y(0)=0.5,\dot{y}(0)=0$. Con $m=1$, $f=0$, $k=4$ y $F_{ext}=\sin t$. Movimiento forzado no amortiguado sin resonancia. Explicar por qué no se da el fenómeno de resonancia.
20. $m\ddot{y}+f\dot{y}+ky=F_{ext}(t),y(0)=0.5,\dot{y}(0)=0$. Con $m=1$, $f=0.1$, $k=4$ y $F_{ext}=\sin 2t$. Movimiento forzado amortiguado con cuasirresonancia. Explicar el fenómeno de cuasirresonancia. Tomar un valor máximo de tiempo igual a 120 para observar mejor el resultado.
21. $m\ddot{y}+f\dot{y}+ky=F_{ext}(t),y(0)=0.5,\dot{y}(0)=0$. Con $m=1$, $f=0.1$, $k=4$ y $F_{ext}=\sin t$. Movimiento forzado amortiguado sin cuasirresonancia. Explicar por qué no se da el fenómeno de cuasirresonancia. Tomar un valor máximo de tiempo igual a 120 para observar mejor el resultado.
22. $\dddot{y}+3\ddot{y}+2\dot{y}=0, y(0)=0, \dot{y}(0) =2, \ddot{y}(0) =0$
23. $\overset{(4)}{y}+9\ddot{y}=0, y(0)=1, \dot{y}(0)=0, \ddot{y}(0) =0, \dddot{y}(0) =0$
24. $\overset{(4)}{y}+2\dddot{y}=0, y(0)=0, \dot{y}(0)=-2, \ddot{y}(0) =4, \dddot{y}(0) =-8$
25. $\dddot{y}+2\ddot{y}+2\dot{y}=0, y(0)=0, \dot{y}(0) =0,\ddot{y}(0) =-1$
26. $\dddot{y}+2\ddot{y}+\dot{y}=0, y(0)=0, \dot{y}(0) =0,\ddot{y}(0) =-1$
27. $\dddot{y}+16\dot{y}=0, y(0) =0, \dot{y}(0) =4,\ddot{y}(0) =0$
28. $\overset{(4)}{y}+\ddot{y}=0, y(0)=0, \dot{y}(0)=0, \ddot{y}(0) =-1, \dddot{y}(0) =0$
29. $\overset{(4)}{y}+\ddot{y}=0, y(0)=1, \dot{y}(0)=1, \ddot{y}(0)=0, \dddot{y}(0) =-1$ 
30. $\ddot{y}+4\dot{y}+13y=0,y(0)=0,\dot{y}(0)=-2$
31. $\overset{(4)}{y}+4\dddot{y}+13\ddot{y}=0$
32. $\overset{(4)}{y}-6\dddot{y}+13\ddot{y}=0$
33. $\ddot{y}+2\dot{y}=1+e^t,y(0)=0,\dot{y}(0)=0$
34. $\ddot{y}-\dot{y}=3+e^t,y(0)=0,\dot{y}(0)=0$