Valores y vectores propios

Los valores y vectores propios (por la derecha) de una matriz $\mathbf{A}$ son las soluciones de la siguiente ecuación:

$\mathbf{Av}_i=\lambda _i\mathbf{v}_i$         $(\lambda _i\mathbf{I}-\mathbf{A})\mathbf{v}_i=0$

Los vectores propios de una matriz $\mathbf{A}$ son los vectores no nulos $\mathbf{v}_i$ que al transformarse linealmente por medio de la matriz dan lugar a un múltiplo escalar del vector (vector paralelo). El múltiplo escalar respectivo $\lambda _i$ de un vector propio $\mathbf{v}_i$ es el valor propio (eigenvalor, autovalor, valor característico). De la expresión anterior se observa que cualquier vector paralelo a un vector propio también es un vector propio, por lo que la selección no es única. Una práctica habitual consiste en dar un vector propio que tenga una norma euclidiana igual a 1, lo cual se logra dividiendo por la norma euclidiana cada elemento del vector propio. Los valores y vectores propios surgen de resolver la siguiente ecuación de estado homogénea:

$\mathbf{\dot{x}}=\mathbf{Ax}$        $ \mathbf{x}=\mathbf{v}e^{\lambda t}$     $ \lambda \mathbf{v}e^{\lambda t}=\mathbf{Av}e^{\lambda t}$       $\lambda \mathbf{v}=\mathbf{Av}$

Los valores propios se calculan resolviendo la ecuación característica, es decir:

$\left| \lambda \mathbf{I}-\mathbf{A} \right|=0$

El vector propio $\mathbf{v}_i$ (por la derecha) del valor propio $\lambda _i$ se calcula resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales (si se tienen dos valores propios complejos, también lo serán los vectores propios, pero solo es necesario calcular un vector propio, dado que el segundo será la conjugada del primero):

$(\lambda _i\mathbf{I}-\mathbf{A})\mathbf{v}_i=0$

Aplicando el teorema de Cayley-Hamilton los vectores propios se pueden calcular de la siguiente manera:

$\mathbf{A}^n+a_1\mathbf{A}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\mathbf{A}+a_n\mathbf{I}=0$

$\left( \lambda _1\mathbf{I}-\mathbf{A} \right) \left( \lambda _2\mathbf{I}-\mathbf{A} \right) \cdots \left( \lambda _n\mathbf{I}-\mathbf{A} \right) =0$

$\left( \lambda _1\mathbf{I}-\mathbf{A} \right) \mathbf{v}_1=0     \mathbf{v}_1=\left( \lambda _2\mathbf{I}-\mathbf{A} \right) \cdots \left( \lambda _n\mathbf{I}-\mathbf{A} \right) $

El espectro de una matriz cuadrada es el conjunto de todos sus valores propios. Los valores propios (reales o complejos) pueden ser todos diferentes o algunos pueden repetirse. Una matriz es llamada simple si todos sus valores propios son diferentes. La multiplicidad algebraica (ma) es igual al número de veces que un valor propio es solución de la ecuación característica. Para el caso de un valor propio múltiple, el número de vectores propios linealmente independientes que le corresponden se denomina multiplicidad geométrica (mg):

$\mathrm{mg}\left( \lambda \right) =n-\mathrm{rank(}\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A})\le \mathrm{ma}\left( \lambda \right) $

La multiplicidad geométrica (mg) es igual o menor que la multiplicidad algebraica (ma). Si la multiplicidad geométrica es menor que la algebraica se dice que el valor propio es defectuoso y es necesario completar el conjunto de vectores linealmente independientes con los llamados vectores propios generalizados, los cuales se calculan de la siguiente manera: 

$\left( \lambda _i\mathbf{I}-\mathbf{A} \right) \mathbf{v}_{i1}=0$,   $\left( \lambda _i\mathbf{I}-\mathbf{A} \right) \mathbf{v}_{i2}=-\mathbf{v}_{i1}$,    $\left( \lambda _i\mathbf{I}-\mathbf{A} \right) \mathbf{v}_{i3}=-\mathbf{v}_{i2}, \cdots $

Algunas propiedades de los valores y vectores propios:

$\mathrm{tr(}\mathbf{A})=\sum_{i=1}^n{\lambda _i}$

$\left| \mathbf{A} \right|=\prod_{i=1}^n{\lambda _i}$

$\mathrm{eig(}\alpha \mathbf{I}+\mathbf{A})=\alpha +\mathrm{eig(}\mathbf{A})$

$\mathrm{eig}\left( \mathbf{A}^{-1} \right) =\left( \mathrm{eig}\mathbf{A} \right) ^{-1}$

$\mathrm{eig}\left( \mathbf{A}^n \right) =\left( \mathrm{eig} \mathbf{A} \right) ^n$

$\mathrm{mg}\left( \lambda \right) =\mathrm{ma}\left( \lambda \right)$ si $\mathbf{A}^T=\mathbf{A}$

De la última expresión se deduce que para una matriz simétrica ( ) todos los vectores propios son linealmente independientes. De la penúltima expresión se infiere que una matriz tiene inversa si y solo si todos los valores propios son diferentes de cero. Para matrices invertibles (no tiene valores propios nulos) se cumple lo siguiente: 

$\mathrm{eig(}\mathbf{A})=\mathrm{eig}\left( \mathbf{T}^{-1}\mathbf{AT} \right) $ (8.18)

Ejemplo 1

Valores propios repetidos con multiplicidad geométrica igual a la multiplicidad algebraica:

$\mathbf{A}=\left[ \begin{matrix} 3& 0& -1\\1& 2& -1\\ -1& 0& 3\\\end{matrix} \right] \,\,  \lambda=2,2,4$

Vector propio de $\lambda =4$:

 $\mathbf{v}_1=\left[ \begin{matrix}1& 1& -1\\\end{matrix} \right]^T$

Multiplicidad geométrica de $\lambda =2$: 

$\mathrm{mg}=3-\mathrm{rank(}2\mathbf{I}-\mathbf{A})=2=\mathrm{ma}$.

Vectores propios de $\lambda =2$:

$2\left[ \begin{array}{c}v_{21}\\v_{22}\\v_{23}\\\end{array}\right] =\left[ \begin{matrix} 3& 0& -1\\ 1& 2& -1\\ -1& 0& 3\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} v_{21}\\ v_{22}\\ v_{23}\\ \end{array} \right]$

Una opción es $v_{21}=v_{23}=1,  v_{22}=0$ o $1$:

$2\left[ \begin{array}{c} v_{21}\\ v_{22}\\ v_{23}\\\end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} 3& 0& -1\\ 1& 2& -1\\ -1& 0& 3\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} v_{21}\\ v_{22}\\ v_{23}\\ \end{array} \right]$

Otra opción es $v_{21}=v_{23}=0,  v_{22}=\,\,1$ (existen muchas otras opciones para vectores no paralelos):

$\mathbf{v}_3=\left[\begin{array}{c} 0\\1\\ 0\\\end{array}\right]$

Cálculo con MATLAB:

[V, L] = eig ([3 0 -1; 1 2 -1; -1 0 3]);

El resultado es el siguiente (los valores propios se entregan en una matriz diagonal), el cual coincide con el resultado anterior (segundo vector $\mathbf{v}_3$) si se divide cada uno de los vectores por su norma euclidiana:

    

Ejemplo 2

Valores propios complejos:

$\mathbf{A}=\left[ \begin{matrix} -1&-1\\1&-1\\\end{matrix} \right] \,\,\lambda =-1\pm i$

Vector propio de $(-1+i)$:

$(-1+i)\left[\begin{array}{c} v_{11}\\v_{12}\\\end{array} \right] =\left[ \begin{matrix}-1&-1\\1&-1\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c}v_{11}\\v_{12}\\\end{array}\right] $

Las dos ecuaciones resultantes llevan al mismo resultado ($v_{12}=-iv_{11}$), por lo que tomando $v_{11}=1$ se tiene:

$\mathbf{v}_1=\left[ \begin{array}{c}1\\-i\\\end{array}\right]$

Para el segundo valor propio se obtiene:

$\mathbf{v}_2=\left[\begin{array}{c}1\\i\\\end{array}\right]$

Con MATLAB se obtiene el mismo resultado, pero con vectores propios de norma euclidiana igual a 1 (dividiendo los vectores de arriba por su norma $\sqrt{2}$ se obtiene los resultados de MATLAB):

[V, L] = eig ([-1 -1; 1 -1]);

Ejemplo 3

Valores propios reales repetidos, pero la multiplicidad geométrica es menor que la multiplicidad algebraica:

$\mathbf{A}=\left[ \begin{matrix}-2&1\\0&-2\\\end{matrix}\right] $         $\lambda =\left\{-2,-2\right\}$

Cálculo de la multiplicidad geométrica:

$\mathrm{mg}=n-\mathrm{rank(}\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A})=2-\mathrm{rank}\left[\begin{matrix}\lambda +2& -1\\ 0& \lambda +2\\ \end{matrix} \right] _{\lambda =-2}=2-\mathrm{rank}\left[ \begin{matrix} 0&-1\\0& 0\\\end{matrix} \right] =1$

Primer vector propio:

$-2\left[ \begin{array}{c}v_{11}\\v_{12}\\\end{array} \right] =\left[ \begin{matrix}-2&1\\ 0&-2\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c}v_{11}\\v_{12}\\\end{array} \right]$          $\mathbf{v}_1=\left[ \begin{array}{c}1\\0\\\end{array} \right]$

El segundo vector propio se debe hallar con un vector propio generalizado:

$(\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A})\mathbf{v}_2=-\mathbf{v}_1\,\,\left[ \begin{matrix}0&-1\\0&0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} v_{21}\\v_{22}\\ \end{array} \right] =-\left[ \begin{array}{c}1\\0\\ \end{array} \right]$  $\forall v_{21}$          $\mathbf{v}_2=\left[ \begin{array}{c} 0\\1\\ \end{array} \right]$

Con MATLAB se obtiene el primer vector propio:

A = [-2 1;0 -2]; [V, D] = eig(A)

El segundo vector propio es idéntico al primero, por lo que es necesario hallar el vector propio generalizado. El cálculo de todos los valores y vectores propios normales y generalizados se puede hacer con la función jordan de MATLAB (debido a que la matriz D está en forma canónica de Jordan, no diagonal (ver sección 1.7.7), se puede deducir que se tiene un vector propio generalizado:

[V, D] = jordan(A)

Ejemplo 4

La matriz identidad tiene   valores propios iguales y cualquier vector no nulo es vector propio ($\mathrm{ma}=n, \mathrm{mg}=n$).