Curso de ecuaciones diferenciales ordinarias con un enfoque hacia los sistemas dinámicos

Se presenta una propuesta para utilizar el libro "Sistemas Dinámicos en Contexto" para un curso de introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias con orientación a las aplicaciones y a la motivación en el área.

Ideas generales

A partir de las ideas presentadas por Gian-Carlo Rota [1] hace varios años (las cuales pueden ser más actuales que nunca), se propone un curso de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con las siguientes características:

• Énfasis en las ecuaciones diferenciales de orden superior y la ecuación de estado, las cuales son más cercanas a problemas reales
• Relación de las ecuaciones diferenciales no lineales con su aproximación lineal por medio de la linealización
• Aplicación de métodos numéricos básicos (ecuaciones en diferencias y su solución iterativa) y simulación
• Utilización del método de la transformada de Laplace en el marco de la función de transferencia y el teorema de convolución
• Desarrollo de ejemplos reales o cercanos a la realidad, mostrando la fase de la modelación matemática, relación sistémica y gráfica entre los subsistemas, análisis dimensional y una introducción a la modelación experimental con métodos simples basados en la respuesta temporal.
• Énfasis en conceptos claves como: relación entre el orden de la ecuación diferencial y el número de integradores (diagrama de simulación), efecto de los polos y ceros, estabilidad, relación entre el término independiente de la ecuación no homogénea y las variables exógenas del sistema, aplicación del teorema de convolución, relación entre diferentes representaciones de un modelo (ecuación diferencial, ecuación de estado, función de transferencia), análisis en el plano de fase, características no lineales, análisis temporal y frecuencial, entre otros
• Aplicación del análisis de incertidumbre y la teoría de errores y aproximación en los problemas reales, como fundamento para la conciliación de la teoría con la práctica.

Posibles temas del curso con base en los temas del libro:

1. Ecuaciones diferenciales lineales: ecuaciones de primer orden con variables separables y lineales, ecuaciones homogéneas y no homogéneas, principio de superposición, método de coeficientes indeterminados, término independiente como entrada, tipos comunes de entrada (escalón o Heaviside, sinusoidal, pulso, entre otras), solución general y solución particular, problema de valor inicial, teorema de existencia y unicidad (estudio de casos problemáticos).
2. Transformada de Laplace: definición, transformadas básicas, transformada inversa de Laplace, propiedades, función de transferencia (polos y ceros, interpretación, reducción del orden), aplicaciones.
3. Ecuaciones en el espacio de estado: conceptos básicos, ecuación de estado a partir de la ecuación diferencial, solución por el método de la transformada de Laplace, matriz de transición del estado (matriz exponencial),, polos y ceros de sistemas.
4. Modelación matemática y simulación: diagramas de bloques, diagrama de estado (de simulación) y el concepto de integrador, métodos numéricos para la solución de ecuaciones diferenciales (Euler, Runge-Kutta), simulación de sistemas dinámicos con Matlab/Simulink, análisis de sensibilidad e incertidumbre, ejemplos.
5. Análisis de sistemas dinámicos: retratos de fase y puntos de equilibrios, linealización, análisis de estabilidad (definición de Lyapunov, método de Routh-Hurwitz, lugar de las raíces), análisis temporal.

Más información

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