Introducción (planteamiento)
Dado el siguiente modelo con una estructura OE, utilizar MATLAB para analizar el efecto de la selección de na, nb y nk en el análisis residual cuando se realiza la identificación con el método de la variable instrumental:
G(z)=0.6357z+0.2145z4(z2−0.3345z+0.7845)Ts=1 seg
Método (plan de solución)
Pasos: (i) escribir el código de MATLAB, utilizando la función resid, que permita obtener el análisis residual para la estimación con el método de la variable instrumental cambiando na, nb y nk; (ii) obtener el gráfico del análisis residual con diferentes retardos totales nk = {5, 1, 7}; (iii) obtener el gráfico del análisis residual con diferente número de ceros por medio de nb = {1, 3}; (iv) analizar los resultados.
Resultados (solución)
El código de MATLAB de este enlace implementa las tareas planteadas (los datos corresponden a una estructura OE).
Figura 1 con el método de la variable instrumental y los órdenes correctos na = 2, nb = 2 y nk = 5, donde se puede observar en la prueba de blancura el problema, mencionado en el libro, con una estructura OE y el método IV, pero el buen comportamiento de la correlación cruzada:
Figura 2 de identificación del modelo con los órdenes correctos y el método del error de predicción, donde se observa la prueba de blancura esperada, lo que muestra que realmente hay un problema que se debe omitir del método de la variable instrumental con la estructura OE:
Figura 3 con el método de la variable instrumental y los órdenes incorrectos (retardo menor) na = 2, nb = 2 y nk = 1, donde se observan los picos de la correlación cruzada en todos los τ⩾ y el pico pronunciado en \tau =5 cuando hay una subestimación del retardo:
Figura 4 con el método de la variable instrumental y los órdenes incorrectos (retardo mayor) na = 2, nb = 2 y nk = 7, donde se observan los picos de la correlación cruzada solo en los instantes \tau =\{5,6,7\} cuando hay una sobreestimación del retardo:
Figura 5 con el método de la variable instrumental y los órdenes incorrectos (menos ceros) na = 2, nb = 1 y nk = 5, donde se observan los picos de la correlación cruzada en varios de los valores de \tau \geqslant 5 y el pico pronunciado en \tau =6, lo cual significa que subestimar el número de ceros es equivalente a un problema en la subestimación del retardo:
Figura 6 con el método de la variable instrumental y los órdenes incorrectos (menos polos) na = 1, nb = 2 y nk = 5, donde se observan los picos de la correlación cruzada solo en varios de los valores de \tau \geqslant 5, sin un pico más pronunciado que otros:
Si se aumenta el número de polos y ceros no hay efecto en el análisis residual (no se dan los gráficos correspondientes), pero solo si el retardo es correcto se observa una cancelación de polos y ceros que evidencia que se puede disminuir el orden.
Figuras 7 y 8 con el mapa de polos y ceros con na = 8, nb = 8, nk = 5 (cancelación de los 6 polos y ceros sobrantes) y nk = 1 (cancelación solo de 3 polos y ceros sobrantes, los otros 4 se necesitan para compensar el retardo faltante):
Análisis y verificación
Aunque el ajuste de la respuesta temporal simulada a la experimental es un valioso método de validación de un modelo, el análisis residual entrega resultados más confiables acerca de la hipótesis de la estructura del modelo de la planta y la perturbación. La prueba de blancura es una indicación de la validez del modelo, siempre y cuando se utilice un predictor que tenga en cuenta el modelo de la planta y la perturbación (el uso de un método IV con una estructura OE es un caso particular de fallo frecuente, como lo muestra las figuras 1 y 2). Sin embargo, en otros casos permite comparar los modelos y definir el mejor de ellos, si el porcentaje de ajuste es adecuado.
Si la prueba de blancura no es adecuada, la correlación cruzada entre los residuos y la entrada para retardos positivos entrega información adicional de problemas en la selección del retardo o del número de polos y ceros.
- Una falta de polos (figura 6) afecta considerablemente la prueba de blancura (autocorrelación),
- Una falta de ceros afecta menos la prueba de blancura
- En los dos casos anteriores se observa una correlación cruzada, siendo más suave (sin un pico que sobresalga) si faltan polos (figura 6) y con un pico sobresaliente si faltan ceros (figura 5).
- El exceso de polos y ceros no tiene incidencia en el análisis residual y se puede observar una cancelación en el mapa de polos y ceros, si el retardo es correcto (figuras 7 y 8).
- Si el número de polos y ceros es correcto, un retardo mayor al correcto genera unos picos en la correlación cruzada solo en los retardos sobrantes (figura 4),
- Si el número de polos y ceros es correcto, un retardo menor al correcto genera una correlación importante en más valores (figura 3), como sucede con un menor número de ceros.
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