ER5.8. Versiones recursivas de identificación de sistemas

Introducción (planteamiento)

Dado el siguiente modelo lineal de tiempo discreto, elaborar un programa de Simulink que implemente los métodos recursivos RLS y RIV, y analizar los resultados con diferentes opciones del modelo de la perturbación:

$G(z)=\frac{1.4576z+0.2456}{z(z^2-0.2234z+0.6879)}\\  T_s=1~\mathrm{seg}$

Método (plan de solución)

Pasos: (i) implementar los algoritmos RLS y RIV en MATLAB utilizando una sola S-Function para ser utilizada en Simulink; (ii) implementar un diagrama de simulación en Simulink; (iii) probar con un modelo ARX y el algoritmo RLS; (iv) probar con un modelo ARX y el algoritmo RIV; (v) probar con un modelo BJ y el algoritmo RLS; (vi) probar con un modelo BJ y el algoritmo RIV; (vii) probar con un modelo BJ, el algoritmo RIV y cambiando un parámetro del numerador y luego uno del denominador con factores de olvido de 1 y menor que 1 (aquí es útil usar la opción Simulation Pacing de Simulink o cambiando en la pestaña Debug la opción Pause Time); (viii) analizar los resultados.

Resultados (solución)

En este enlace se encuentra el código de MATLAB que implementa los métodos RLS y RIV en una S-Function, cuyo estudio detallado ayuda a entender el funcionamiento de estos métodos de estimación recursiva de parámetros de un función de transferencia de tiempo discreto. Esta función se implementa en Simulink de la siguiente manera:

                 

El siguiente diagrama de Simulink permite realizar los experimentos propuestos (la varianza de la entrada de identificación es igual a 1):

 

El bloque del proceso permite implementar diferentes tipos de estructuras del modelo. Para un modelo BJ se tiene (la varianza del ruido blanco es igual a 0.52):

Figura 1 con los resultados con un algoritmo RLS, una estructura ARX y un factor de olvido igual a 1:

     

Figura 2 con los resultados con un algoritmo RLS, una estructura ARX y un factor de olvido igual a 0.98 (observar el aumento de la varianza en la estimación):

 

Figura 3 con los resultados con una estructura BJ y un factor de olvido igual a 1, a la izquierda con un algoritmo RLS y a la derecha con un algoritmo RIV (observar una mejor estimación en el segundo caso):

Figura 4 con los resultados con un algoritmo RIV, una estructura BJ, un factor de olvido igual a 1 y un cambio de signo del parámetro $a_1$ y luego un cambio de signo de $b_2$ (observar la lentitud de convergencia en cada caso):

Figura 5 con los resultados con un algoritmo RIV, una estructura BJ, un factor de olvido igual a 0.99 y un cambio de signo del parámetro $a_1$ y luego un cambio de signo de $b_2$ (observar la mayor velocidad de convergencia, pero mayor varianza):

 

Análisis y verificación

Los diferentes experimentos muestran el correcto funcionamiento de los algoritmos recursivos RLS y RIV implementados en MATLAB y Simulink, incluyendo el caso cuando se aplica un algoritmo a una estructura incorrecta: algoritmo RLS aplicado a un modelo BJ o un algoritmo RIV aplicado a un modelo ARX (caso que no se muestra), pero que exige un ajuste innecesario que lleva a inexactitudes. 

El algoritmo RIV detecta adecuadamente el cambio de los parámetros y lo hace de manera más rápida entre menor sea el factor de olvido, aunque con una mayor varianza.