ER5.6. Método de la variable instrumental

Introducción (planteamiento)

Dado el siguiente modelo lineal de tiempo discreto, generar "datos experimentales" simulados con diferentes estructuras del modelo de la perturbación, implementar en MATLAB el método de la variable instrumental de cuatro pasos con diferente número de iteraciones y aplicarlo en la identificación, y compararlo con el modelo exacto y la función iv4 de MATLAB, todo con MATLAB:

$G(z)=\frac{0.7346z-0.4231}{z^2(z^2+0.3213z+0.0276)}\\  T_s=1~\mathrm{seg}$

Valores del modelo teórico: na_teo = 2, nb_teo =2, nk_teo = 3

Método (plan de solución)

Pasos de implementación en MATLAB: (i) crear una "entrada experimental" tipo ruido blanco; (ii) generar una señal ruido blanco y a partir de ella generar un vector de perturbación con diferentes estructuras que no sean ARX (ARARX, BJ, OE); (iii) generar la "salida experimental"; (iv) implementar el método de la variable instrumental de cuatro pasos en MATLAB; (v) identificar el modelo por el método de mínimos cuadrados para las diferentes entradas y estructuras de la perturbación, y comparar los resultados con la función iv4 de MATLAB; (vi) validar el modelo con una entrada PRBS, una entrada escalón, análisis residual (para verificar la hipótesis del modelo) y un mapa de polos y ceros (para detectar una posible reducción del orden); (vii) comparar con los parámetros conocidos del modelo, debido a que es un problema simulado; (viii) analizar los resultados.

Resultados (solución)

El código de MATLAB de este enlace implementa las tareas requeridas y ayuda a entender el funcionamiento del método de la variable instrumental.

A continuación, se dan las tablas con los resultados de la estimación de parámetros con los diferentes métodos, entrada ruido blanco, na = 2, nb =2, nk =3, N = 2001, cuatro iteraciones (Niter = 4) y diferentes estructuras de la perturbación con una relación ruido/señal grande.

Tabla 1 con una estructura ARARX:

Tabla 2 con una estructura BJ:

 

Tabla 3 con una estructura OE:

 

Análisis y verificación

En este ejemplo se implementó el método de la variable instrumental de cuatro pasos, el cual incluye la versión mejorada, y los resultados se compararon con la función iv4 de MATLAB. La coincidencia de los resultados indica un correcto funcionamiento del código. Si se estudia detenidamente el programa se podrá entender muy bien las ideas del método de la variable instrumental.

El código ilustra cada uno de los pasos del método y, en especial, el proceso de filtrado de los pasos 3 y 4. Las tres tablas muestran que el método funciona adecuadamente con solo dos iteraciones; incluso, la versión mejorada entrega resultados aceptables. Por supuesto, la función iv4 incluye mejoras y consideraciones sustanciales matemáticas que funcionan mejor en la mayoría de los casos. 

En otros ejemplos se aplican todas las etapas de la identificación de sistemas, pero aquí solo se analiza el comportamiento y convergencia del método para ilustrar sus etapas.