ER5.2. Identificación de un modelo de segundo orden subamortiguado por el método de respuesta temporal

Introducción (planteamiento)

Dado el siguiente modelo de cuarto orden con oscilaciones y con dos polos complejos casi insignificantes, adicionar un pequeño ruido, identificar el modelo de segundo orden subamortiguado equivalente y analizar los resultados:

$G(s)=\frac{735e^{-1.23s}}{(s^2+2.34s+4.16)(s^2+16.38s+301.5)}$

Método (plan de solución)

Pasos: i) implementar en MATLAB el modelo, adicionar un pequeño ruido y obtener la respuesta temporal ante una entrada escalón unitario (estos on equivalente a los datos experimentales de un sistema real); (ii) obtener aproximadamente de la gráfica el retardo, sobreimpulso máximo y tiempo de pico; (iii) obtener el modelo; (iv) validar el modelo; (v) analizar los resultados.

Resultados (solución)

La generación de datos y los cálculos con MATLAB se dan en este enlace. Los "datos experimentales" son:

Del gráfico se tiene:

$y_{ss} \approx 0.58$

$\tau \approx 1.4$

$t_p \approx 3.2 - 1.4 = 0.8$

$M_p \approx (0.66 - y_{ss})/y_{ss} = 0.13$

Con los datos anteriores se obtiene:

$K=y_{ss}/A=0.58$

$\zeta= \frac{1}{  \sqrt{1 + \frac{\pi^2}{\ln^2 M_p}}  } \approx 0.564$

$\omega _0 = \frac{\pi}{t_p \sqrt{1-\zeta^2}} \approx  2.08$

La función de transferencia estimada, por lo tanto, es:

$G(s)=\frac{2.526 e^{-1.4s}}{s^2+2.263s+4.327}$

Para la validación se comparan las respuestas temporales "experimental" y estimada, y se calcula el porcentaje de ajuste (coeficiente de determinación):

Para una determinación cuantitativa del ajuste de la respuesta temporal de un modelo a los datos experimentales se puede usar el porcentaje de ajuste (un tipo de coeficiente de determinación), según la siguiente fórmula:

$fit=\left[ 1-\frac{\sqrt{\sum_{t=1}^N{\left( y\left( t \right) -\hat{y}\left( t \right) \right) ^2}}}{\sqrt{\sum_{t=1}^N{\left( y\left( t \right) -\bar{y}\left( t \right) \right) ^2}}} \right] \times 100\%$

 El porcentaje de ajuste es $fit=91.3~\%$.

Análisis y verificación

El método de la respuesta temporal para el ajuste a un modelo de segundo orden subamortiguado da un resultado que se ajusta muy bien a los datos experimentales, a pesar de que hay dos polos complejos que no son insignificantes debido a que están solo a 7 veces de los dos polos dominantes (los polos son -8.19 ± 15.31 y -1.1700 ± 1.6707i). 

El método se basa en la determinación (subjetiva) del observador de algunas características a partir del gráfico, lo cual en presencia de señales con ruido puede dar resultados muy aproximados.