ER5.14. Estructura del modelo lineal de tiempo discreto

Introducción (planteamiento)

Para los órdenes y retardo del modelo discreto de la planta que se da más abajo (considerando los polinomios de la perturbación del mismo orden del proceso cuando sea necesario), (i) especificar las estructuras ARMAX, OE y ARARX en forma de operadores de transferencia hacia atrás; (ii) dar la función de transferencia discreta de la planta en términos de $z$; (iii) dar la forma en términos del vector de regresión; (iv) si la estructura correcta debería ser una de Box-Jenkins, indicar y explicar los posibles errores y particularidades que se observarían en la validación del modelo con las estructuras anteriores (sesgo, consistencia, porcentaje de ajuste y análisis residual).

m = 1, n = 1, na = 4, nb = 2, nk = 3

Método (plan de solución)

Dado que sólo se tiene una entrada $(m=1)$ y una salida $(p=1)$, es necesario trabajar el caso escalar y hallar la función de transferencia y operador de transferencia (no la matriz de funciones de transferencia). Dada una estructura, la función de transferencia de la planta es la misma en todos los casos y sólo cambia la estructura de la perturbación. Para estructuras complejas, la forma de regresión implica la utilización de los residuos $\varepsilon (t)$ en lugar del ruido blanco $e(t)$.

 Forma general de las estructuras lineales, donde $e(t)$ es un ruido blanco:

$y(t) =\frac{B(q^{-1})}{A(q^{-1})}u(t) +\frac{C(q^{-1})}{D(q^{-1})}e(t)$

Resultados (solución)

1. Estructuras en forma de operadores de transferencia hacia atrás

ARMAX

$y(t) =\frac{b_1q^{-3}+b_2q^{-4}}{1+a_1q^{-1}+a_2q^{-2}+a_3q^{-3}+a_4q^{-4}}u(t) + \frac{1+c_1q^{-1}+c_2q^{-2}}{1+a_1q^{-1}+a_2q^{-2} + a_3q^{-3}+a_4q^{-4}}e(t)$

OE

$y(t) =\frac{b_1q^{-3}+b_2q^{-4}}{1+a_1q^{-1}+a_2q^{-2} + a_3q^{-3}+a_4q^{-4}}u(t) +e(t)$

ARARX (se toma nd = 1, como ejemplo)

$y(t) =\frac{b_1q^{-3}+b_2q^{-4}}{1+a_1q^{-1} + a_2q^{-2}+a_3q^{-3}+a_4q^{-4}}u(t) + \frac{1}{(1+a_1q^{-1}+a_2q^{-2}+a_3q^{-3} + a_4q^{-4}) (1+d_1q^{-1})}e(t)$

2. Función de transferencia de la planta (la misma en todos los casos)

$G(z^{-1}) =\frac{b_1z^{-3}+b_2z^{-4}}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2} + a_3z^{-3} + a_4z^{-4}}\\ G(z ) =\frac{b_1z + b_2}{z^4+a_1z^3+a_2z^2+a_3z+a_4}$

3. Forma con el vector de regresión

ARMAX

Como el denominador es común en los modelos de la planta y la perturbación, se tiene:

$(1+a_1q^{-1}+a_2q^{-2}+a_3q^{-3}+a_4q^{-4}) y(t) =(b_1q^{-3}+b_2q^{-3}) u(t) +\ (1+c_1q^{-1}+c_2q^{-2}) e(t)$

En diferencias hacia atrás:

$y(t) +a_1y(t-1) +a_2y(t-2) +a_3y(t-3) +a_4y(t-4) =\\ b_1u(t-3) +b_2u(t-4) +e(t) +c_1e(t-1) +c_2e(t-2)$

Despejando:

$y(t) =-a_1y(t-1) -a_2y(t-2) -a_3y(t-3) -a_4y(t-4) +\\b_1u(t-3) +b_2u(t-4) +e(t) +c_1e(t-1) +c_2e(t-2)$

En forma vectorial:

$y(t) =\boldsymbol{\varphi }^{\boldsymbol{T}}(t) \boldsymbol{\theta }+e(t)$

Donde,

$\boldsymbol{\varphi }^{\boldsymbol{T}}(t) =\left[ \begin{matrix} -y(t-1)&  -y(t-2)&  -y(t-3)&  -y(t-4)&  u(t-3)&  u(t-4)&  e(t-1)&  e(t-2)\\ \end{matrix} \right]$

$\boldsymbol{\theta }=\left[ \begin{matrix} a_1&  a_2&  a_3&  a_4&  b_1&  b_2&  c_1&  c_2\\ \end{matrix} \right]$

OE

$(1+a_1q^{-1}+a_2q^{-2}+a_3q^{-3}+a_4q^{-4}) y(t) =\\ (b_1q^{-3}+b_2q^{-3}) u(t) + (1+a_1q^{-1}+a_2q^{-2}+a_3q^{-3}+a_4q^{-4}) e(t)$

$y(t) +a_1y(t-1) +a_2y(t-2) +a_3y(t-3) +a_4y(t-4) =\\ b_1u(t-3) +b_2u(t-4) +e(t) + a_1e(t-1) + a_2e(t-2) + a_3e(t-3) +a_4e(t-4)$

Como se tienen parámetros idénticos para las variables $y(t)$ y $e(t)$, no es posible tener un vector de parámetros sin valores repetidos. En este caso se hace la siguiente representación:

$\varepsilon (t) =e(t) +a_1e(t-1) +a_2e(t-2) +a_3e(t-3) +a_4e(t-4)$

$y(t) =-a_1y(t-1) -a_2y(t-2) -a_3y(t-3) -a_4y(t-4) +b_1u(t-3) +b_2u(t-4) +\varepsilon (t)$

$y(t) =\boldsymbol{\varphi }^{\boldsymbol{T}}(t) \boldsymbol{\theta }+\varepsilon (t)$

$\boldsymbol{\varphi }^{\boldsymbol{T}}(t) =\left[ \begin{matrix} -y(t-1) &  -y(t-2) &  -y(t-3) &  -y(t-4)&  u(t-3)&  u(t-4)\\ \end{matrix} \right]$

$\boldsymbol{\theta }=\left[ \begin{matrix} a_1&  a_2&  a_3&  a_4&  b_1&  b_2\\ \end{matrix} \right]$

ARARX

En este caso, el producto de los parámetros $a_i$ y $d_i$ lleva a términos muy complicados, por lo que en estos casos se puede llevar a la estructura OE, donde

$\varepsilon (t) =\frac{1}{1+d_1q^{-1}}e(t)$

Discusión

Como ninguna de las estructuras anteriores es la correcta según los supuestos del problema (no son una estructura BJ), ninguna pasará la prueba de blancura, con lo cual se puede afirmar que los parámetros estimados tendrán sesgo sin importar el número de datos experimentales que se utilicen. Se puede tener un buen ajuste a los datos experimentales, pero no se tenderá a los valores reales a medida que aumenta el número de datos experimentales. Sin embargo, si la relación ruido/señal es pequeña, entonces el sesgo será muy pequeño y los parámetros estimados tendrán un sesgo despreciable.

La hipótesis acerca de la forma de la estructura de la perturbación incide directamente en la selección del método de identificación. En el caso de la estructura ARMAX es posible aumentar el vector de regresión con los residuos y estimar los parámetros del polinomio $C(q^{-1})$, pero sólo si se conocen los residuos $\hat{e}(t)$ (en el libro se muestra cómo se pueden estimar). En otras estructuras se debe trabajar con ruidos $\varepsilon (t)$ que no sean blancos, dado que su forma se hace bastante tediosa.