Introducción (planteamiento)
Para el siguiente proceso, (i) especificar las entradas, salidas y posibles perturbaciones del sistema; (ii) especificar los parámetros físicos del sistema; (iii) explicar cada etapa del proceso de identificación con información específica del modelo (consultar en internet por un posible modelo matemático o hacer suposiciones del orden y retardo); (iv) si el modelo es no lineal, explicar cómo se deben tomar los datos para la obtención de un modelo lineal; (v) indicar y explicar si el sistema se debe o puede modelar como una serie de tiempo.
- Péndulo simple
Método (plan de solución)
El procedimiento de identificación de sistemas implica la aplicación de ciertos pasos generales para todo sistema, pero con particularidades en cada caso. En este caso el modelo tiene entrada y no se modela como una serie de tiempo. En general, se debe: (i) indicar cuáles son las entradas, salidas y posibles perturbaciones; (ii) identificar claramente los parámetros del modelo físico (en caso de modelo tipo caja gris) o indicar si los parámetros corresponden a un modelo caja negra; (iii) especificar cada etapa del procedimiento (ver figura abajo) con información específica del problema, como el tipo de entrada a utilizar, el rango de linealidad y la influencia de las perturbaciones; (iv) analizar los resultados.
Resultados (solución)
Un péndulo simple es fácil de concebir y visualizar, donde la entrada corresponde a la fuerza aplicada sobre la masa (en newtons) por medio de una pequeña hélice movida por un motor (la masa total incluye la de este artefacto), las variables de estado son la posición angular (en radianes) y la velocidad angular (en radianes por segundo), y la salida corresponde a la variable a medir, que puede ser la posición angular. El péndulo simple implica una masa pegada a un hilo rígido de masa despreciables que oscila en un mismo plano dentro de un fluido como el aire, por ejemplo. La fricción del aire depende de la viscosidad del fluido (lo cual depende de la temperatura y altura sobre el nivel del mar) y la forma de la masa.
Viendo diversos péndulos es fácil ver que se diferencian en ciertas características que para cada caso son constantes, es decir, los parámetros: la masa, la longitud del hilo y la fricción viscosa del fluido.
Las perturbaciones son variables externas que actúan sobre el sistema y que no se conocen o no se quieren medir, como puede ser la fuerza del viento si lo hay, las desviaciones de las condiciones asumidas del modelo: un estiramiento inusual del hilo, un cambio de la masa, un cambio de temperatura que afecte la fricción viscosa del aire, ruidos en los sensores utilizados, etc.
A continuación, se explican los pasos del procedimiento de identificación para diferentes métodos y estructuras lineales o no lineales.
0. Como conocimiento previo, se sabe de la literatura que el modelo es de orden 2 y no lineal. De la interpretación física se deduce la necesidad de conocer las dos variables de estado para tener la información completa del sistema, por lo que un orden 2 parece adecuado. No parece que haya un retardo en el sistema.
1. En la planificación experimental es necesario, principalmente, diseñar la entrada para una correcta identificación.
a. En cualquier caso, se deben tomar datos espaciados de acuerdo con cierto período de muestreo. Debido a la dinámica rápida de cambio de los valores del ángulo se debe tomar un período de muestreo pequeño que puede ser de 0.1 segundos.
b. En el caso de una estructura no lineal se pueden tomar los datos con ángulos amplios, pero sin que el sistema dé vueltas, pues se tendría un manejo del ángulo más difícil. Puede usarse una entrada con una fuerza cambiante entre dos niveles (una entrada PRBS) con un período base que sea un múltiplo del período de muestreo (puede ser de 1 a 10 segundos).
c. En el caso lineal sólo se puede obtener una aproximación alrededor de un punto de equilibrio, el cual se puede obtener experimentalmente sin conocer el modelo. Es decir, se traza la curva de linealidad, se selecciona un punto de equilibrio (por ejemplo, para una fuerza de 5 N, siempre y cuando no se quede dando vueltas el péndulo con esa fuerza) y se define gráficamente un rango de linealidad. El rango no debe ser tan pequeño que la relación ruido/señal sea grande, ni tan grande que abarque una zona poco lineal. Los datos se toman a partir de la entrada y ángulo constantes del punto de equilibrio (condiciones iniciales iguales a cero).
d. Se deben tomar 2000 datos o más, lo cual es posible si el período de muestreo es de 0.1 segundos, ya que eso abarca una prueba de 200 segundos, es decir, menos de 4 minutos.
e. Se debe aplicar una fuerza cambiante (entrada) y medir el ángulo (salida). La fuerza se puede aplicar desde un computador como un número, el cual es convertido a una fuerza por medio de un convertidor digital/análogo y, posiblemente, un amplificador de voltaje. Se debe calcular el factor de conversión que relaciona el número con la fuerza. El ángulo se puede medir por medio de un transportador y una cámara (ver enlace) o por medio de un sensor magnético (ver enlace).
f. Se pueden utilizar diversos tipos de entrada para la estimación y la validación: PRBS, escalón, onda cuadrada, señal sinusoidal, etc.
2. Se toman los datos según lo planificado y el método y estructura elegidos. Se pueden tomar datos de manera digital por varios minutos y utilizar algunos para la estimación y otros para la validación. Si se toman adecuadamente, esos datos son fijos. Se deben revisar los datos en búsqueda de comportamientos extraños como una mala medición dada por valores atípicos.
3. La estructura es una caja gris para el caso no lineal con parámetros físicos o una función de transferencia de tiempo discreto para el caso lineal con parámetros sin sentido físico. Para el caso lineal se puede iniciar suponiendo una estructura ARX221 y si hay problemas en la validación, entonces se prueba con otras estructuras. Se pueden proponer otros órdenes y retardos. Si la estructura es diferente de una con na = nb = 2 y nk = 1, deben revisarse las condiciones experimentales (si na > 2 hay dinámicas no modeladas).
4. Para las estructuras lineales se usan los métodos paramétricos (método de mínimos cuadrados, método de la variable instrumental o método del error de predicción). Para el caso no lineal, se aplica el método del error de predicción y algún algoritmo de optimización (el método del gradiente es el más simple).
5. El cálculo del modelo se realiza con una herramienta computacional que pruebe con diversas estructuras y entregue la función de coste en cada caso. Por ejemplo, se puede utilizar el System Identification Toolbox o el Simulink Design Optimization Toolbox de MATLAB.
6. La validación se realiza con las estructuras que tienen las funciones de coste más pequeñas (más factibles), haciendo énfasis en las estructuras esperadas de segundo orden. Se calcula la función de ajuste y los residuos. La función de ajuste refuerza la elección de la mejor estructura y el análisis residual permite comprobar o rechazar la hipótesis sobre la estructura elegida del modelo. En el caso no lineal, sólo es un aspecto a tener en cuenta en el análisis, pero que no es matemáticamente determinante. También se debe hacer la validación con otros conjuntos de entradas y salidas. Si se pasa la etapa de valida, se documenta el modelo, y si no, se deben revisar las etapas anteriores.
7. La documentación implica dar el modelo, los parámetros y sus intervalos de confianza, y las condiciones bajo las cuales se realizó el experimento de identificación.
Discusión
La identificación de sistemas implica la aplicación de un procedimiento que se debe dar explícitamente de manera gráfica y en el que los detalles específicos se dan, principalmente, en el conocimiento previo y la planificación experimental (pasos 0 y 1).
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