ER5.12. Estimación de parámetros con el método de búsqueda exhaustiva

Introducción (planteamiento)

Dada la siguiente función de transferencia de tiempo continuo, simular con una entrada PRBS, adicionar un ruido coloreado a la salida para generar "datos experimentales" y estimar los dos parámetros del denominador por el método de búsqueda exhaustiva:

$G(s)=\frac{10.23e^{-0.12s}}{s^2+0.49s+9.65}$

Método (plan de solución)

Pasos: (i) generar una entrada PRBS, simular y adicionar un ruido coloreado de amplitud considerable (modelo BJ) para generar los "datos experimentales" (utilizar un período de muestreo de 0.05 seg); (ii) programar en MATLAB el método de búsqueda exhaustiva con una función de coste MSE; (ii) graficar la función de coste en términos de los valores de los dos parámetros; (iii) obtener los valores óptimos; (iv) realizar una prueba de blancura; (v) analizar los resultados.

Resultados (solución)

El código de MATLAB de este enlace implementa las tareas requeridas.

Figura 1 con el gráfico 3D de la función de coste en dependencia de los dos parámetros, junto con un corte transversal en cada eje:

Valores óptimos con un ruido coloreado:

Valores óptimos con un ruido blanco:

Figura 2 de la prueba de blancura con el ruido coloreado como perturbación (con el ruido blanco la prueba se pasa con éxito):

 

Análisis y verificación

El método de búsqueda exhaustiva es sencillo de programar y se puede obtener siempre el mínimo global, sin embargo, el costo computacional es excesivamente alto. El método permite, no obstante, comprender las principales ideas de la optimización, en especial de la función de coste y del espacio de búsqueda. El método es aplicable a cualquier modelo, lineal o no lineal, de tiempo continuo o discreto. En este ejemplo se aplicó el método al ajuste de dos parámetros de una función de transferencia de tiempo continuo para poder obtener el gráfico 3D. Con un incremento de 0.01 en la búsqueda de los parámetros el tiempo de cómputo de un poco más de 2 minutos, pero al disminuirlos a 0.001 el cálculo es de casi 1 hora.

A pesar de la gran amplitud de la perturbación (si la varianza de la perturbación es pequeña, es decir, la relación ruido/señal es pequeña, la estructura de la perturbación no es importante), se obtienen resultados aceptables de la estimación, aunque el ajuste es mejor si el modelo es OE, es decir, a la salida se aplica un ruido blanco. 

Se aplicó una entrada PRBS, pero con una entrada escalón también se puede obtener buenos resultados, dado que el número de parámetros es bajo.