Introducción (planteamiento)
Dado el siguiente sistema en lazo cerrado en Simulink para una planta estable o inestable, dependiendo del signo del último término a2, identificar el modelo discreto de la planta (Ts=0.1 seg) en MATLAB aplicando un enfoque directo y diferentes métodos de identificación y tipos de entrada:
Método (plan de solución)
Pasos, donde siempre se usan u(t) y y(t) como señales de identificación y se prueban las estructuras OE y ARMAX: (i) implementar un programa en MATLAB para la identificación en lazo cerrado para diferentes formas de las variables r_id y u_id del diagrama de simulación; (ii) identificar el modelo discreto para la planta estable con r_id = 1, u_id = 0; (iii) identificar el modelo discreto para la planta estable con r_id = PRBS, u_id = 0 (PRBS, explicada en el libro, con una amplitud de 0.5 alrededor de 1 y período base de 0.1); (iv) identificar el modelo discreto para la planta estable con r_id = 1, u_id = PRBS (PRBS con una amplitud de 0.5 alrededor de 1 y período base de 0.1); (v) repetir los casos anteriores para la planta inestable; (vi) analizar los resultados.
Resultados (solución)
El código de MATLAB de este enlace implementa las tareas propuestas.
En las siguientes figuras siempre se observan valores por fuera de la franja de confianza para retrasos negativos (lags) en el gráfico de correlación cruzada (indicio de la presencia de realimentación). Solo se presenta los gráficos del análisis residual en la primera figura.
Figura 1 con el análisis residual de una planta estable, caso 1 (r_id = 1, u_id = 0) y estructura OE:
Figuras 2 y 3 con la tabla de los resultados de la estimación para una planta estable, caso_entrada = 1 (r_id = 1, u_id = 0) y caso_entrada = 2 (r_id = PRBS, u_id = 0), y estructura OE, donde en el primer caso el método PEM funciona y en el segundo funcionan ambos:
Figura 4 con la tabla de los resultados de la estimación para una planta estable, caso_entrada = 3 (r_id = 1, u_id = PRBS) y estructura OE (observar que solo el método PEM funciona):
Figura 5 con la tabla de los resultados de la estimación para una planta inestable, caso_entrada = 1 (r_id = 1, u_id = 0) y estructuras OE y ARMAX (observar que ningún método funciona, aunque el ARMAX se acerca más, pero el modelo es estable):
Figura 6 con la estimación para una planta inestable, caso_entrada = 2 (r_id = PRBS, u_id = 0) y estructuras OE y ARMAX, donde se puede observar que el método IV4 siempre funciona y el PEM lo hace con una estructura ARMAX y un modelo inestable:
Figura 7 con la estimación para una planta inestable, caso_entrada = 3 (r_id = 1, u_id = PRBS) y estructuras OE y ARMAX, donde se puede observar que el método IV4 nunca funciona y el PEM lo hace con una estructura ARMAX y un modelo inestable:
Análisis y verificación
Este ejercicio analiza la identificación del modelo de una planta estable o inestable cuando está dentro de un sistema de control en lazo cerrado. El análisis residual muestra en todos los casos estudiados una correlación para retrasos (lags) negativos en el gráfico de correlación cruzada, lo cual es una evidencia de la presencia de realimentación (ver la Figura 2).
En el enfoque directo se toman como datos experimentales la entrada y la salida de la planta, pero se puede generar una señal informativa variando la referencia (figuras 3 y 6) o sumando una señal a la acción de control (figuras 4 y 7). Con una referencia persistentemente excitada se obtienen resultados correctos con cualquier método si la planta es estable (figura 3); si la planta es inestable el método IV4 debería ser la elección dado que siempre funciona, aunque el método PEM da resultados aceptables si se selecciona adecuadamente la estructura y no es OE o BJ (figura 6).
Si no se suma ninguna entrada adicional y se utiliza la información de corrección del control debido al ruido de la salida (figuras 2 y 5), el método PEM funciona solo si la planta es estable (figura 2). Sin embargo, al sumar una señal persistentemente excitada a la señal de control (figuras 4 y 7), el método IV4 nunca funciona, mientras que el método PEM da estimaciones correctas para un modelo de la planta estable (figura 4) o inestable si la estructura no es OE o BJ (figura 7).
En el ejercicio se pueden realizar otro tipo de pruebas, pero se omiten para enfocarse solo en el método directo con varias posibilidades. Se invita al lector a verificar los resultados con un orden mayor de la planta y amplitudes menores de la señal de identificación. Los resultados obtenidos aquí coinciden con los expuestos en otras fuentes bibliográficas.
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