ER5.1. Identificación de un modelo de primer orden por el método de respuesta temporal

Introducción (planteamiento)

Dado el siguiente modelo de tercer orden sin oscilaciones y con dos polos insignificantes, obtener la respuesta temporal a una entrada escalón unitario, adicionar un pequeño ruido a la salida, identificar el modelo de primer orden de tiempo continuo equivalente y analizar los resultados:

$G(s)=\frac{122e^{-2.15s}}{(s+1.13)(s+10.24)^2}$

Método (plan de solución)

Pasos: (i) implementar en MATLAB el modelo, adicionar un pequeño ruido y obtener la respuesta temporal ante una entrada escalón unitario (estos datos son equivalentes a los datos experimentales de un sistema real); (ii) identificar el modelo a partir de la constante de tiempo y el valor final; (iii) identificar el modelo utilizando el método de regresión lineal; (iv) validar los modelos; (v) analizar los resultados.

Resultados (solución)

En este enlace está el código de MATLAB para la toma de datos, cálculo de los parámetros del modelo y validación. La respuesta temporal a una entrada escalón se muestra a continuación:

Del gráfico de la respuesta temporal se puede obtener aproximadamente el retardo, la constante de tiempo y el modelo de primer orden: 

$y_{\infty}=1.027\\ \tau \simeq 2.2\\ T=t(y=0.632\times y_{\infty})-\tau \simeq 3.24-2.2=1.04$

Con estos valores la función de transferencia identificada es:

$G_1(s)=\frac{1.027e^{-2.2s}}{1.04s+1}$

La identificación también puede realizarse por el método de regresión lineal, donde se toman los valores en el segmento medio (entre 2.4 y 4.8 seg, es decir, entre los datos 242 y 480), de manera que se tome una sección que pueda llevarse a la forma lineal. El gráfico de los datos logarítmicos, es decir, de $\ln (1-y(t)/y_{ss})$ en función del tiempo es:

Por regresión lineal (ver el enlace al código arriba), se obtienen los coeficientes de la recta $y=at+b$, donde $a=-1.1463$y$b=2.7033$, de donde$T = -1/a$y$\tau = -b/a$. La función de transferencia es:

$G_2(s)=\frac{1.027e^{-2.35s}}{0.8724s+1}$

El siguiente gráfico compara la respuesta temporal "experimental" con la respuesta temporal estimada a partir de los dos modelos anteriores: 

Para una determinación cuantitativa del ajuste de la respuesta temporal de un modelo a los datos experimentales se puede usar el porcentaje de ajuste (un tipo de coeficiente de determinación), según la siguiente fórmula:

$fit=\left[ 1-\frac{\sqrt{\sum_{t=1}^N{\left( y\left( t \right) -\hat{y}\left( t \right) \right) ^2}}}{\sqrt{\sum_{t=1}^N{\left( y\left( t \right) -\bar{y}\left( t \right) \right) ^2}}} \right] \times 100\%$

 Para el ajuste visual $fit=94.8~\%$ y para el ajuste por regresión lineal $fit=97.1~\%$.

Análisis y verificación

El método de identificación de respuesta temporal para un modelo que se aproxima a uno de primer orden entrega resultados directos de manera simple. Si el modelo es de orden superior, no tiene oscilaciones y $(n-1)$ polos son insignificantes, entonces la aproximación es buena. En el caso cuando no se tienen polos insignificantes el ajuste puede no ser aceptable.

La diferencia entre un modelo con tales condiciones y uno de primer orden es la forma de la respuesta temporal al inicio, donde solo en el segundo caso la función no es derivable, es decir, la pendiente cambia repentinamente de cero a otro valor. Por esa razón el método de regresión lineal da un mejor ajuste, pero aumentando el retardo; esta es una señal inequívoca de que se está aproximando un modelo por uno de menor orden. 

El porcentaje de ajuste por los dos métodos es bastante bueno, pero el método basado en la regresión lineal es ligeramente mejor.