Introducción (planteamiento)
Dado el siguiente modelo de un sistema SISO, discretizar con un período de muestreo adecuado, analizar la controlabilidad, obtener la forma canónica controlable (FCC), y diseñar y simular un controlador por realimentación del estado a partir de la forma canónica controlable:
$\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{array}{c} -6.24& 6& -2.25\\ -3& 3& -3\\ -0.75& 2& -4.75\\ \end{array} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 2\\ 4\\ 6\\ \end{array} \right] u(t)$
Método (plan de solución)
Pasos: (i) obtener el período de muestreo a partir de la respuesta temporal; (ii) determinar la controlabilidad del modelo de tiempo discreto (incluir el número de condición); (iii) obtener la forma canónica controlable y analizar la controlabilidad; (iv) diseñar un control de asignación de polos por realimentación del estado a partir de la FCC y simular; (v) realizar un análisis de incertidumbre; (vi) analizar los resultados. Las operaciones que se realizan a continuación se detallan en el código de MATLAB de este enlace.
Resultados (solución)
A partir de la respuesta temporal y de un tiempo de crecimiento de 0.275 seg, se puede definir un período de muestreo $T_s=0.05~\mathrm{seg}$.
Modelo original:
Número de condición de la matriz de controlabilidad: $2.6898 \times 10^5$
Matriz de control: $ \mathbf{K}=\left[ \begin{array}{c} 0.9418& -1.8833& 0.9419 \end{array} \right] \times 10^4 $
Modelo en la forma canónica controlable:
Número de condición de la matriz de controlabilidad: $27.6$
Matriz de control: $\mathbf{K}=\left[ \begin{array}{c} 0.5457& -1.5529& 1.1310 \end{array} \right]$
Por lo anterior, puede ser preferible diseñar el control a partir de la FCC, dado que los valores de $K$ son más pequeños y menos sensibles a cambios de los parámetros de la planta.
A continuación, se muestra el diagrama de simulación del sistema de control con condiciones iniciales iguales a 1, donde la matriz de transformación $\mathbf{T}_c$ transforma el modelo a la forma canónica controlable y el uso del retenedor de orden cero que garantiza que el controlador es de tiempo discreto):
Resultados de la simulación:
Análisis y verificación
Este ejercicio muestra la aplicación de la forma canónica controlable (FCC) al control de un sistema. El diseño es simple y pasa por la obtención de la forma canónica controlable, el diseño a partir de esa forma y la simulación e implementación introduciendo la matriz de transformación en el controlador. El diseño del controlador directamente del modelo original o del modelo en la FCC dan los mismos resultados, pero la sensibilidad a los cambios de los parámetros de la planta puede ser diferente (se requiere un análisis detallado al respecto): "en aplicaciones computacionales, trabajar con formas canónicas puede conducir a una mejor estabilidad y precisión numérica al realizar simulaciones o implementar algoritmos de control".
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