ER4.6. Forma canónica controlable aplicada al control por realimentación del estado

Introducción (planteamiento)

Dado el siguiente modelo de un sistema SISO, discretizar con un período de muestreo adecuado, analizar la controlabilidad, obtener la forma canónica controlable (FCC), y diseñar y simular un controlador por realimentación del estado a partir de la forma canónica controlable:

$\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{array}{c} -6.24&  6&  -2.25\\ -3&  3&  -3\\ -0.75&  2&  -4.75\\ \end{array} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 2\\ 4\\ 6\\ \end{array} \right] u(t)$

Método (plan de solución)

Pasos: (i) obtener el período de muestreo a partir de la respuesta temporal; (ii) determinar la controlabilidad del modelo de tiempo discreto (incluir el número de condición); (iii) obtener la forma canónica controlable y analizar la controlabilidad; (iv) diseñar un control de asignación de polos por realimentación del estado a partir de la FCC y simular; (v) realizar un análisis de incertidumbre; (vi) analizar los resultados. Las operaciones que se realizan a continuación se detallan en el código de MATLAB de este enlace.

Resultados (solución)

A partir de la respuesta temporal y de un tiempo de crecimiento de 0.275 seg, se puede definir un período de muestreo  $T_s=0.05~\mathrm{seg}$.

Modelo original: 

Número de condición de la matriz de controlabilidad: $2.6898 \times 10^5$

Matriz de control: $\mathbf{K}=\left[ \begin{array}{c} 0.9418& -1.8833& 0.9419 \end{array} \right] \times 10^4$

Modelo en la forma canónica controlable: 

Número de condición de la matriz de controlabilidad: $27.6$

Matriz de control: $\mathbf{K}=\left[ \begin{array}{c} 0.5457& -1.5529& 1.1310 \end{array} \right]$

Por lo anterior, puede ser preferible diseñar el control a partir de la FCC, dado que los valores de $K$ son más pequeños y menos sensibles a cambios de los parámetros de la planta.

A continuación, se muestra el diagrama de simulación del sistema de control con condiciones iniciales iguales a 1, donde la matriz de transformación $\mathbf{T}_c$ transforma el modelo a la forma canónica controlable y el uso del retenedor de orden cero que garantiza que el controlador es de tiempo discreto):

Resultados de la simulación:

Análisis y verificación

Este ejercicio muestra la aplicación de la forma canónica controlable (FCC) al control de un sistema. El diseño es simple y pasa por la obtención de la forma canónica controlable, el diseño a partir de esa forma y la simulación e implementación introduciendo la matriz de transformación en el controlador. El diseño del controlador directamente del modelo original o del modelo en la FCC dan los mismos resultados, pero la sensibilidad a los cambios de los parámetros de la planta puede ser diferente (se requiere un análisis detallado al respecto): "en aplicaciones computacionales, trabajar con formas canónicas puede conducir a una mejor estabilidad y precisión numérica al realizar simulaciones o implementar algoritmos de control".