ER4.3. Predictor de Smith de tiempo discreto

Introducción (planteamiento)

Dado el siguiente modelo de una planta de tiempo continuo estable con retardo, diseñar un predictor de Smith de tiempo discreto con un controlador PID y analizar su comportamiento:

$G(s)=\frac{e^{-1.1s}}{s^2+2s+2}$

Método (plan de solución)

Pasos: (i) seleccionar el período de muestreo y discretizar el modelo de la planta; (ii) diseñar un control PID discreto con la planta sin retardo utilizando la herramienta pidTuner de MATLAB y simular; (iii) diseñar un control PID discreto con la planta con retardo utilizando la función pidTuner de MATLAB y simular; (iv) diseñar el predictor de Smith y simular; (v) utilizando la herramienta GSUA, realizar un análisis de incertidumbre del control con predictor de Smith con 1000 muestras e incertidumbre del 10%; (vi) analizar los resultados.

Resultados (solución)

De la respuesta temporal de la planta a una entrada escalón se obtiene que el tiempo de crecimiento es de 1.52 segundos, por lo que $T_s=0.2~\mathrm{seg}$ es un período de muestreo aceptable. La discretización del modelo con MATLAB (dado que el retardo no es un múltiplo del período de muestreo utiliza realmente la transformada z modificada) lleva al siguiente resultado:

$G_d=\frac{0.004675z^2+0.02449z+0.003581}{z^6(z^2-1.605z+0.6703)}$

El diseño del controlador PID discreto del sistema sin retardo lleva a los siguientes valores, donde un controlador PI entrega buenos resultados (se omite el proceso de ajuste del PI):

$K_p=0.0756,T_i=0.1$

El diseño del controlador PI del sistema con retardo conduce al siguiente resultado (se omite el proceso de ajuste del PI):

$K_p=0.04,T_i=0.1$

Ahora, si se utiliza un predictor de Smith se toma el diseño del PI sin retardo y se incluye un compensador de retardo, tal y como se muestra en la siguiente figura:

 

El siguiente es el diagrama de simulación, el cual incluye una perturbación determinística tipo escalón aplicada a los 20 segundos:

 

Comparación de la respuestas temporales y acciones de control:

El análisis de incertidumbre y sensibilidad con el predictor de Smith (utilizando la herramienta GSUA) con una incertidumbre del 10% y 30% en los parámetros de la planta y 1000 muestras (es necesario quitar la advertencia de un lazo algebraico), donde $x(1)=b_1, x(2)=a_1, x(3)=a_2, x(4)=\tau$, parte del siguiente diagrama:

Gráficos de incertidumbre con incertidumbre del 10% en los parámetros:

Índices escalares de sensibilidad total:

Discusión y verificación

En este problema se obtuvo el controlador de un sistema con retardo por medio de dos métodos: PI puro y PI con predictor de Smith. El diseño con el predictor de Smith es más simple (se puede utilizar cualquier método para plantas sin retardo) y la respuesta temporal y la acción de control son mejores que con el controlador PI bajo condiciones similares (aún se puede mejorar el ajuste de cada controlador).

El análisis de incertidumbre muestra resultados aceptables con el controlador, con rechazo de la perturbación y eliminación del error en estado estacionario, aunque se pueden presentar oscilaciones en la respuesta temporal en lazo cerrado. 

El análisis de sensibilidad (aproximado, debido al número tan pequeño de muestras), donde se asume que el controlador es conocido y la incertidumbre está en los parámetros de la planta continua, muestra que el retardo no es tan sensible. No obstante, se debe estudiar el predictor de Smith con otro tipo de planta para generalizar mejor los resultados. 

De esta manera, el predictor de Smith es un método simple que utiliza un controlador diseñado suponiendo que no hay retardo y luego se hace la compensación necesaria en la implementación (el retardo no se elimina).