ER3.7. Diseño de filtros pasabajas con un enfoque basado en la frecuencia

Introducción (planteamiento)

Al siguiente sistema lineal de orden dos con una entrada tipo escalón se le agregó un ruido aleatorio y tres señales sinusoidales de pequeña amplitud y diferente frecuencia (suficientemente separadas). Diseñar filtros pasabajas de Butterworth de diferentes características (orden y frecuencia de corte) y analizar los resultados.

Método (plan de solución)

Pasos: (i) obtener el espectro de la señal de entrada del filtro (salida del proceso con ruido) con la función pspectrum de MATLAB; (ii) diseñar filtros de Butterworth de órdenes 2, 6, 10 y 20, y una frecuencia de corte (frecuencia de filtrado) de 30 rad/s, obtener el diagrama de Bode de cada uno y compararlo con el del proceso; (iii) diseñar filtros de Butterworth de orden 2 y frecuencias de corte de 1, 10, 20 y 50 rad/s, obtener el diagrama de Bode de cada uno y compararlo con el diagrama de Bode del proceso; (iv) obtener los gráficos de la respuesta temporal y del espectro de la salida con cada filtro; (v) analizar los resultados.

Resultados (solución)

El espectro del ruido con una simulación hasta 100 seg y recolección de datos con un período de 0.01 seg (frecuencia de 100 Hz) se muestra a continuación, donde se observan las tres frecuencias sinusoidales y una frecuencia igual a cero que corresponde al valor de estabilización.

Diseño del filtro pasabajas de Butterworth de segundo orden con una frecuencia de corte de 30 rad/s:

$\omega =1, \zeta =0.71\\ G_F(s)=\frac{1^2}{\left( \frac{s}{30} \right)^2+2(0.71)(1)\left( \frac{s}{30} \right) +1^2}=\frac{900}{s^2+42.6s+900}$ 

Cálculo con la función butter de MATLAB de filtros de Butterworth con una frecuencia de corte de 30 rad/s y diferentes órdenes, y obtención del diagrama de Bode.

 

En la siguiente figura se muestran los resultados de la simulación con filtros de Butterworth de diferente orden y una frecuencia de corte de 30 rad/s. Observar el desfase con la señal original al aumentar el orden del filtro y comparar con el diagrama de Bode de cada filtro y el espectro de la entrada del filtro con componentes de baja frecuencia diferentes de cero. 

 

La siguiente figura muestra los resultados del filtrado cuando se fija en dos el orden del filtro y se cambia la frecuencia de filtrado:

El código de MATLAB de este enlace permite obtener los gráficos anteriores y realizar otras pruebas.

Discusión y verificación

Este ejercicio articula el análisis frecuencial de un sistema con el espectro de las señales, cada uno de los cuales tiene un gráfico similar (espectro para la señal y diagrama frecuencial para el modelo del sistema). De esta manera, si un ruido tiene frecuencias que se solapan con las frecuencias significativas del proceso (menores que el ancho de banda) es difícil eliminarlas, dado que se distorsiona fuertemente la señal. Esto es lo que sucede con la frecuencia de 10 rad/s: si se utiliza un filtro con frecuencia de 4 rad/s hay un buen filtrado, pero la señal de salida del proceso está fuertemente desfasada (al eliminar las altas frecuencias el modelo se vuelve más lento).

De otro lado, al aumentar el orden del filtro aumenta la razón de corte (como no tiene ceros, el orden es igual al orden relativo) y hay mejor filtrado, pero el desfase también aumenta. Por lo tanto, en el diseño de filtros es importante sopesar la razón de corte con el desfase generado y no filtrar tanto que se distorsione la respuesta temporal del sistema. 

Los filtros presentados en este libro son básicos para ilustrar su importancia y los aspectos a considerar en su diseño, pero se debe recurrir a filtros más avanzados que logren una buena razón de corte y un desfase pequeño.