ER3.6. Método del lugar de las raíces aplicado al ajuste de un sistema de control

Introducción (planteamiento)

Dado el siguiente modelo de una planta y de un controlador, hallar los valores de $k_1$ que estabilizan el sistema en lazo cerrado:

$\tilde{G}(s)=\frac{-1}{s^2-2s+3}\\ G_c(s)=\frac{k_1s^2-1}{s(s+3)}$

Método (plan de solución)

Pasos: (i) obtener la ecuación en lazo cerrado en la forma $1+k_1G(s)=0$, (ii) obtener con MATLAB el lugar de las raíces, (iii) identificar a partir del gráfico los valores de $k_1$ que estabilizan el sistema en lazo cerrado, (iv) analizar los resultados.

Resultados (solución)

El modelo en lazo cerrado es:

$G_{lc}(s)=\frac{\tilde{G}(s)G_c(s)}{1+\tilde{G}(s)G_c(s)}$

El denominador de la función de transferencia en lazo cerrado es:

$1-\frac{k_1s^2}{s^4+s^3-3s^2+9s+1}=0$

$1+\frac{k_1(-s^2)}{s^4+s^3-3s^2+9s+1}=0$

Sin embargo, este problema no tiene solución, dado que hay solución sólo para $k_1<0$ (problema del lugar de las raíces complementario). Por lo tanto, para valores negativos del parámetro se tiene la siguiente función de transferencia:

$1+\frac{(-k_1)(s^2)}{s^4+s^3-3s^2+9s+1}=0$

$G(s)=\frac{s^2}{s^4+s^3-3s^2+9s+1}$

Obtención del gráfico del lugar de las raíces con la función rlocus de MATLAB:

G = tf([1 0 0],[1 1 -3 9 1]); 

rlocus(G)

 

 

Discusión y verificación

Los resultados de este ejercicio coinciden con los del método de Routh-Hurwitz (se deja al lector su cálculo), por lo cual se puede confiar en ellos, pero aquí son más visuales y claros. De la figura anterior se observa que el sistema en lazo cerrado con el controlador propuesto es estable para $k_1>12.2,$ aproximadamente. 

La figura tiene una información adicional (malla de fondo) de la respuesta temporal: el factor de amortiguamiento (damping), el sobreimpulso máximo (overshoot) y la frecuencia de las oscilaciones (frequency) para un modelo equivalente de segundo orden. Se observa que al aumentar $k_1$ aumenta el factor de amortiguamiento hasta un poco más de 0.06 y luego disminuye, el sobreimpulso disminuye y luego aumenta, y aumenta la frecuencia de las oscilaciones (dada por la distancia al origen, la cual siempre aumenta), con lo cual, por ensayo y error, se puede obtener un mejor controlador. Por ejemplo, si se exige una razón de amortiguamiento equivalente de $\zeta =0.06$ se debe tomar $k_1=46.7$, como se muestra en la figura de arriba.