ER3.5. Método de Routh-Hurwitz aplicado al diseño de un sistema de control

Introducción (planteamiento)

Dado el siguiente modelo lineal de segundo orden diseñar un sistema de control que estabilice el proceso para diferentes valores de los parámetros:

$G(s)=\frac{a}{s^2+bs+c}$

Método (plan de solución)

Pasos: (i) hallar la función de transferencia en lazo cerrado; (ii) diseñar la función de transferencia de un controlador con base en el método de Routh-Hurwitz para diferentes valores de los parámetros del proceso; (iii) simular los resultados; (iv) analizar los resultados.

Resultados (solución)

Función de transferencia en lazo cerrado, donde solo interesan los polos en lazo cerrado (raíces del polinomio denominador):

$G_{lc}=\frac{G_c(s)G(s)}{1+G_c(s)G(s)}$

$1+G_c(s)G(s)=1+G_c(s)\frac{a}{s^2+bs+c}=0$

$G_c(s)=\frac{N_c(s)}{D_c(s)}$

$P_{lc}(s)=(s^2+bs+c)D_c(s)+aN_c(s)$

Si se utiliza un controlador constante $G_c(s)=K$ se tiene:

$P_{lc}(s)=s^2+bs+c+aK$

Dada la condición necesaria y suficiente de estabilidad para modelos de orden dos, este controlador solo estabiliza el sistema para diferentes valores de los parámetros $a$ y $c$:

• Si $a$ y $c$ son positivos no hay manera de desestabilizar el sistema en lazo cerrado para cualquier valor de $K>0$. 
• Si $a>0$ y $c<0$ se necesita que $-\left| c \right|+aK>0$, es decir, $K>\left| c \right|/a$. 
• Si $a<0$ y $c>0$ se necesita que $c-\left| a \right|K>0$, es decir, $K<c/\left| a \right|,$ por lo cual hay una ganancia máxima antes que el sistema en lazo cerrado se vuelva inestable.
• Si $b<0$ un controlador constante no permite estabilizar el sistema en lazo cerrado y es necesario buscar otros tipos de funciones de transferencia para el controlador. 

Otro tipo de controlador:

$G_c(s)=\frac{k_1}{s+k_2}$

En dicho caso se tiene:

$P_{lc}(s)=(s^2-\left| b \right|s+c)(s+k_2)+ak_1$

$P_{lc}(s)=s^3+(k_2-\left| b \right|)s^2+(c-k_2\left| b \right|)s+ck_2+ak_1$

Las condiciones necesarias exigen que:

$k_2-\left| b \right|>0\\c-k_2\left| b \right|>0\\ck_2+ak_1>0$

Es decir, 

$k_2>\left| b \right|\\k_2<\frac{c}{\left| b \right|}\\k_2>-\frac{a}{c}k_1$

Las condiciones anteriores no se pueden lograr siempre, como en el caso cuando $b=-2$, $c=1$. Por lo tanto, ese controlador es muy restringido y no es útil en la mayoría de los casos. Una función de transferencia muy utilizada es la siguiente, la cual corresponde a un controlador PID (Proporcional-Integral-Derivativo):

$G_c(s)=\frac{k_1s^2+k_2s+k_3}{s(s+k_4)}$

En dicho caso se tiene:

$P_{lc}(s)=(s^2-\left| b \right|s+c)s(s+k_4)+a\left( k_1s^2+k_2s+k_3 \right)$

$P_{lc}(s)=s^4+\left( k_4-\left| b \right| \right) s^3+(ak_1+c-k_4\left| b \right|)s^2+(k_2a+k_4c)s+k_3a$

Las condiciones necesarias se pueden cumplir todas, dado que cada término contiene un parámetro que se puede ajustar independientemente ($k_4$ en el segundo término, $k_1$ en el tercero, $k_2$ en el cuarto y $k_3$ en el quinto). El arreglo de Routh-Hurwitz lleva a una serie de desigualdades algebraicas que se pueden simplificar si se asignan valores específicos a los parámetros y se fijan algunas constantes: $a=-1,b=-2,c=3$, $k_2=0$, $k_3=-1$, $k_4=3$. En este caso la ecuación característica y la primera columna del arreglo de Routh-Hurwitz son: 

$P_{lc}(s)=s^4+s^3+(-k_1-3)s^2+9s+1$

     $\left[ \begin{matrix} 1&  1&  -k_1-12&  (9k_1+109)/(k_1+12)&  1\\\end{matrix} \right] ^T$

La solución es: $k_1<-109/9, k_1<-12.11$. Por lo tanto, un posible controlador que estabiliza el sistema con $k_1=-20$ es:

$G_c(s)=\frac{-20s^2-1}{s(s+3)}$

El siguiente código de MATLAB entrega el gráfico del comportamiento del sistema en lazo cerrado con el controlador diseñado y  una referencia tipo escalón, donde solo se observa la salida y no la acción de control y donde se evidencian demasiadas oscilaciones (comportamiento indeseado) en la respuesta temporal, pero aquí el único objetivo es estabilizar el sistema (se pueden diseñar mejores controladores por otros métodos):

G = tf(-1, [1 -2 3]); 

k1 = -20; 

Gc = tf([k1 0 -1], [1 3 0]); 

Glc = G*Gc/(1+G*Gc); 

Glc = minreal(Glc); % Reducción del orden por cancelación de polos y ceros reales iguales

step(Glc)

 

Discusión y verificación

En este ejemplo se diseña un sistema de control cuyo único objetivo es estabilizar el sistema en lazo cerrado, por lo que se aplicó el método de Routh-Hurwitz. Si la planta de segundo orden es estable, se mostró que no se puede desestabilizar en lazo cerrado, pero si es inestable el modelo del controlador depende del término negativo en el denominador del proceso. Se revisaron dos casos, uno de los cuales implicó el cálculo de un controlador PID más genérico y aplicable a muchos modelos de plantas que se pueden aproximar a un modelo de orden dos. Se simuló el sistema en lazo cerrado y se comprobó que, en efecto, el controlador estabilizó la planta, lo cual indica que los cálculos fueron correctos (también se probó con valores por fuera del intervalo de $k_1$). 

Como el único objetivo era estabilizar el sistema, se revisó el cumplimiento de la estabilidad, pero se evidenció que el sistema tiene muchas oscilaciones indeseadas, algo que se debe corregir con controladores más avanzados.