ER3.3. Método directo de Lyapunov aplicado a un modelo lineal

Introducción (planteamiento)

Aplicar el método directo de Lyapunov para determinar la estabilidad del único punto de equilibrio del siguiente modelo lineal de tiempo discreto:

$\mathbf{x}(k+1)=\mathbf{\Phi x}(k)=\left[ \begin{matrix} 1&  3\\ -3&  -2\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}(k)$

Método (plan de solución)

Pasos: (i) calcular el único punto de equilibrio, (ii) resolver la ecuación de Lyapunov discreta, (iii) analizar los resultados.

Resultados (solución)

El punto de equilibrio se obtiene de la siguiente condición:

$\mathbf{x}(k+1)=\mathbf{x}(k), \left[ \begin{matrix} 1&  3\\ -3&  -2\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}_0=\left[ \begin{matrix} 1&  0\\ 0&  1\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}_0, \left[ \begin{matrix} 0&  3\\ -3&  -3\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}_0=\mathbf{0}$

Al ser invertible, la única solución es $\mathbf{x}_0=\mathbf{0}$.

Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones (ecuación de Lyapunov discreta):

$\mathbf{\Phi }^T\mathbf{P\Phi }-\mathbf{P}=-\mathbf{Q}\\  \mathbf{Q}=\mathbf{I}$

Es decir,

$\left[ \begin{matrix} 1&  3\\ -3&  -2\\\end{matrix} \right] ^T\left[ \begin{matrix} p_{11}&  p_{12}\\ p_{21}&  p_{22}\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1&  3\\ -3&  -2\\\end{matrix} \right] -\left[ \begin{matrix} p_{11}&  p_{12}\\ p_{21}&  p_{22}\\\end{matrix} \right] =-\left[ \begin{matrix} 1&  0\\ 0&  1\\\end{matrix} \right]$

Las ecuaciones son:

$\begin{cases} -3p_{12}-3p_{21}+9p_{22}=-1\\ 3p_{11}-3p_{12}-9p_{21}+6p_{22}=0\\ 3p_{11}-9p_{12}-3p_{21}+6p_{22}=0\\ 9p_{11}-6p_{12}-6p_{21}+3p_{22}=-1\\\end{cases}$

Solución:

$\mathbf{P}=\left[ \begin{matrix} -0.2857&  -0.1905\\ -0.1905&  -0.2381\\\end{matrix} \right] \\       \mathrm{eig}\left( \mathbf{P} \right) =\{-0.4539,-0.0699\}$

Se puede resolver el Sistema de ecuaciones o utilizar la siguiente función dlyap de MATLAB para el caso discreto:                       

FI = [ 1 3; -3 -2];

Q = [1 0;0 1];

P = dlyap(FI',Q)

vp = eig(P) % Dado que P es una matriz simétrica

La matriz $\mathbf{P}$ no es definida positiva (el determinante de 1x1 es negativo y el de 2x2 es positivo, o los valores propios de la matriz simétrica $\mathbf{P}$ no son todos positivos) y, por lo tanto, el sistema es inestable (la condición para sistemas lineales es necesaria y suficiente).

Discusión y verificación

La verificación de la estabilidad de este modelo de tiempo discreto requiere solo del cálculo de los valores propios, $\mathrm{eig(}\mathbf{\Phi })=\{-0.5\pm 2.5981i\}$, los cuales están por fuera del círculo unitario y, por lo tanto, el modelo es inestable, tal y como se obtuvo aplicando el método directo de Lyapunov. Es importante tener en cuenta que para determinar si una matriz $\mathbf{P}$ es definida positiva a partir de los valores propios se exige que la matriz sea simétrica y, de lo contrario, se deben calcular los valores propios de $(\mathbf{P}+\mathbf{P}^T)/2$. Para la determinación de la estabilidad de modelos lineales se aplican, en realidad, otros métodos más simples, como el método de Routh-Hurwitz.