Introducción (planteamiento)
Aplicar el método directo de Lyapunov para determinar la estabilidad del único punto de equilibrio del siguiente modelo lineal de tiempo discreto:
$\mathbf{x}(k+1)=\mathbf{\Phi x}(k)=\left[ \begin{matrix} 1& 3\\ -3& -2\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}(k)$
Método (plan de solución)
Pasos: (i) calcular el único punto de equilibrio, (ii) resolver la ecuación de Lyapunov discreta, (iii) analizar los resultados.
Resultados (solución)
El punto de equilibrio se obtiene de la siguiente condición:
$\mathbf{x}(k+1)=\mathbf{x}(k), \left[ \begin{matrix} 1& 3\\ -3& -2\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}_0=\left[ \begin{matrix} 1& 0\\ 0& 1\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}_0, \left[ \begin{matrix} 0& 3\\ -3& -3\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}_0=\mathbf{0}$
Al ser invertible, la única solución es $\mathbf{x}_0=\mathbf{0}$.
Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones (ecuación de Lyapunov discreta):
$\mathbf{\Phi }^T\mathbf{P\Phi }-\mathbf{P}=-\mathbf{Q}\\ \mathbf{Q}=\mathbf{I}$
Es decir,
$\left[ \begin{matrix} 1& 3\\ -3& -2\\\end{matrix} \right] ^T\left[ \begin{matrix} p_{11}& p_{12}\\ p_{21}& p_{22}\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1& 3\\ -3& -2\\\end{matrix} \right] -\left[ \begin{matrix} p_{11}& p_{12}\\ p_{21}& p_{22}\\\end{matrix} \right] =-\left[ \begin{matrix} 1& 0\\ 0& 1\\\end{matrix} \right] $
Las ecuaciones son:
$\begin{cases} -3p_{12}-3p_{21}+9p_{22}=-1\\ 3p_{11}-3p_{12}-9p_{21}+6p_{22}=0\\ 3p_{11}-9p_{12}-3p_{21}+6p_{22}=0\\ 9p_{11}-6p_{12}-6p_{21}+3p_{22}=-1\\\end{cases}$
Solución:
$\mathbf{P}=\left[ \begin{matrix} -0.2857& -0.1905\\ -0.1905& -0.2381\\\end{matrix} \right] \\ \mathrm{eig}\left( \mathbf{P} \right) =\{-0.4539,-0.0699\}$
Se puede resolver el Sistema de ecuaciones o utilizar la siguiente función dlyap de MATLAB para el caso discreto:
FI = [ 1 3; -3 -2];Q = [1 0;0 1];P = dlyap(FI',Q)vp = eig(P) % Dado que P es una matriz simétrica
La matriz $\mathbf{P}$ no es definida positiva (el determinante de 1x1 es negativo y el de 2x2 es positivo, o los valores propios de la matriz simétrica $\mathbf{P}$ no son todos positivos) y, por lo tanto, el sistema es inestable (la condición para sistemas lineales es necesaria y suficiente).
Discusión y verificación
La verificación de la estabilidad de este modelo de tiempo discreto requiere solo del cálculo de los valores propios, $\mathrm{eig(}\mathbf{\Phi })=\{-0.5\pm 2.5981i\}$, los cuales están por fuera del círculo unitario y, por lo tanto, el modelo es inestable, tal y como se obtuvo aplicando el método directo de Lyapunov. Es importante tener en cuenta que para determinar si una matriz $\mathbf{P}$ es definida positiva a partir de los valores propios se exige que la matriz sea simétrica y, de lo contrario, se deben calcular los valores propios de $(\mathbf{P}+\mathbf{P}^T)/2$. Para la determinación de la estabilidad de modelos lineales se aplican, en realidad, otros métodos más simples, como el método de Routh-Hurwitz.
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