ER2.9. Análisis de incertidumbre de un modelo masa-resorte

Introducción (planteamiento)

Dado el siguiente modelo lineal (todas las unidades están dadas en el Sistema Internacional de Medidas), realizar un análisis de incertidumbre con MATLAB para la salida $y$ (desplazamiento) si se supone que cada factor especificado tiene un error del 10 %: 

Las ecuaciones del modelo matemático son:

$\begin{cases} \dot{x}_1 = x_2\\ \dot{x}_2 = -\frac{k}{m}x_1 - \frac{f}{m}x_2 + \frac{F_{ext}}{m}\\ \end{cases}\\ x_1(0) = 0.20~\mathrm{m}, x_2(0) = 0, F_{ext}=0\\ k=0.15~\mathrm{N/m}, f=0.084~ \mathrm{kg/s}, m=0.54~\mathrm{kg}$

$x_1=y$ es el desplazamiento lineal desde la posición de equilibrio y $x_2=\dot{y}=v$ es la velocidad lineal. Los parámetros son: la constante elástica $k$, la fricción viscosa $f$ y la masa $m$. El sistema parte del reposo desde una distancia $x_{10}$. Los factores dados corresponden a sus valores nominales.

Método (plan de solución)

Pasos: (i) generación del espacio muestral con diferentes tamaños de muestra (10 y 100) y diferentes intervalos de cada factor (errores del 10%, 30% y 70%), para identificar si hay mucha diferencia respecto al 10%, utilizando un muestreo de hipercubo latino (se puede ajustar fácilmente el código para otro tipo de muestreo); (ii) obtener por simulación de Montecarlo el panorama general de todas las posibles respuestas temporales (análisis de incertidumbre); (iii) interpretar los resultados.

Resultados (solución)

El código de MATLAB del siguiente enlace realiza las simulaciones:

Los resultados de las simulaciones con un muestreo de hipercubo latino (se deja al lector la obtención de los histogramas de cada factor y de los diagramas de dispersión para cada par de factores) son:

 

Discusión y verificación

El análisis de incertidumbre a partir de los gráficos anteriores muestra que con una incertidumbre hasta del 30% en cada uno de los factores (tres parámetros y una condición inicial) se conserva el comportamiento general del sistema en cuanto a la estabilidad y oscilaciones. Al aumentar la incertidumbre aumenta las posibilidades para la amplitud de los picos de la respuesta temporal y para el tiempo de estabilización. Si la incertidumbre es muy grande, entonces es difícil concluir algo acerca de los picos y tiempo de estabilización, y lo único que se puede asegurar es que el sistema se estabiliza. De hecho, al ser un sistema lineal de orden 2 cuya ecuación característica tiene coeficientes positivos, la estabilidad está garantizada; sin embargo, sus características temporales sí varían.