ER2.8. Propagación de errores en un experimento físico

Introducción (planteamiento)

Un cuerpo se lanza desde la cima de la torre, posición que se considera el origen del eje de coordenadas. Hay incertidumbre en el punto exacto en el que se suelta un objeto, la velocidad inicial, la aceleración de la gravedad y el momento en que se para el cronómetro cuando toca tierra. ¿Cuál es la altura de la torre y su incertidumbre? 

Datos experimentales:

Fórmula para el cálculo de la altura: 

$y=y_0 + v_0t + 0.5gt^2$

Método (plan de solución)

Pasos: i) expresar todos los valores experimentales con intervalos de confianza, ii) calcular el valor de la altura, iii) calcular el error con una sola cifra significativa de la altura con la fórmula de orden 1, iv) dar el valor de la altura con su intervalo de confianza.

Resultados (solución)

Datos experimentales con errores absolutos: 

$y_0=\bar{y}_0 \pm \Delta y = 0.000\pm 0.005\\ v_0 = \bar{v}_0 \pm \Delta v_0 = 0.032 \pm  0.003\\ g=\bar{g} \pm \Delta g = 9.8\pm 0.1\\  t=\bar{t} \pm \Delta t=5.2\pm 0.3$

Cálculo de la altura esperada:

$\bar{y} = \bar{y}_0 + \bar{v}_0\bar{t} + 0.5\bar{g}\bar{t}^2 = 0 + (0.032)(5.2) + 0.5(9.8)(5.2)^2 =132. 6624$

Cálculo del error:

$\Delta ^{(1)}y = \left| \frac{\partial y}{\partial y_0} \right|\Delta y_0 + \left| \frac{\partial y}{\partial v_0} \right|\Delta v_0 + \left| \frac{\partial y}{\partial g} \right|\Delta g + \left| \frac{\partial y}{\partial t} \right|\Delta t$

$\Delta ^{(1)}y = \Delta y_0 + \bar{t}\Delta v_0 + 0.5\bar{t}^2\Delta g + (\bar{v}_0+\bar{g}\bar{t})\Delta t$

$\Delta^{(1)}y= (0.005) + (5.2)(0.003) + (0.5)(5.2)^2(0.1) + (0.032 + 9.8 \times 5.2) (0.3)  = 16.6702$

El error anterior con una cifra significativa es:

$\Delta^{(1)}y=0.166702\times 10^2 \simeq 0.2\times 10^2$

De acuerdo con el error absoluto de la altura (error en la decanas), se tiene):

$y=(1.3\pm 0.2) \times 10^2~(\varepsilon=15.4\%)\\ y= 130 \pm 20~(\varepsilon=15.4\%)\\ y = (110,150)$

Discusión y verificación

El valor más probable de la altura es de 130, pero tiene un error de unos 20 metros, lo cual tiene sentido en un recorrido de 130 metros. Si se quiere mejorar la precisión de la estimación es necesario medir el tiempo de manera más precisa: si el error del tiempo es de 3 centésimas (y no 3 décimas), el error de la altura es de máximo 2 metros. Un análisis de sensibilidad ayudaría a identificar cuál es el factor que se debe medir de manera más precisa, pero de los cálculos se observa que el último término que contiene $\Delta t$ es el que se debe reducir.