ER2.6. Propagación de errores

Introducción (planteamiento)

Dados los siguientes dos valores con sus respectivos intervalos de confianza, con distribución normal, realizar la operación indicada y calcular su respectivo intervalo de confianza por (a) el método analítico de las expresiones de orden 1 y 2, (b) el método Crank Three Times y (c) simulación de Montecarlo:

$x=1.23\pm 0.03~(\varepsilon_x=2.4\% )$

$y=0.237\pm 0.005~(\varepsilon_y=2.1\%)$

$z=x(x+y)(x-y)^{-1}$

Método (plan de solución)

Pasos: i) calcular el valor esperado y el error con la fórmula de orden 1, ii) calcular el valor esperado y el error con la fórmula de orden 2, iii) calcular el valor esperado y el error por el método Crank Three Times, iv) calcular el valor esperado y el error por el método de Montecarlo con distribuciones normales, v) especificar el resultado final de la forma adecuada con un error con solo una cifra significativa, vi) interpretar los resultados.

Resultados (solución)

(a) Fórmulas de propagación de errores

Cálculo del resultado de la operación:

$z=x(x+y)(x-y)^{-1}=1.817129909$

Cálculo de las derivadas parciales para las fórmulas de orden 1 y 2:

$\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x = [(y+2x)(x-y)^{-1}-(xy+x^2)(x-y)^{-2}]\Delta x=0.0266$

$\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y = [x(x-y)^{-1}+(x-y)^{-2}]\Delta y=0.0113$

Cálculo del error por el método de orden 1:

$\Delta^{(1)}z = \left| \frac{\partial z}{\partial x} \right|\Delta x + \left| \frac{\partial z}{\partial y} \right|\Delta y\simeq 0.04$

Cálculo del error por el método de orden 2:

$\Delta^{(2)}z = \sqrt{(\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x)^2 + (\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y)^2} = 0.0289\simeq 0.03$

$\Delta ^{\left( 2 \right)}z\simeq 0.03<\Delta ^{\left( 1 \right)}z=0.04$

(b) Método Crank Three Times (tres vueltas a la manivela)

Vuelta 1. Valor con las medias: $z=1.8171$

Vuelta 2. Valor con los extremos izquierdos: $x=1.2,y=0.232,z=1.7752$

Intervalo izquierdo: $1.8171-1.7752=0.0419\simeq 0.04$

Vuelta 3. Valor con los extremos derechos: $x=1.26,y=0.242,z=1.8591$

Intervalo derecho: $1.8591-1.8171=0.0419\simeq 0.04$

(c) Método de Montecarlo 

El código de MATLAB en este enlace implementa el método de Montecarlo para este ejercicio.

Gráfico de los datos y el histograma de cada variable:

 

Valor medio y desviación estándar por el método de Montecarlo:

 $z=1.8173\pm 0.0308$

$z=1.82\pm 0.03~(\varepsilon =1.7\%)$

Discusión y verificación

El resultado del método de Montecarlo es coherente con la fórmula de segundo orden del método analítico. También se puede comprobar el resultado con otras herramientas como NIST:

 

El método Crank Three Times da una estimación conservadora aceptable del intervalo simétrico de confianza. 

Los resultados obtenidos son coherentes con lo esperado, incluyendo:

$\Delta ^{(2)}z \leqslant \Delta ^{(1)}z$

Además, cierta "regla del pulgar" establece que el número de cifras significativas de un valor que depende de otros es igual al número de cifras significativas del valor menos preciso, algo que se observa en el resultado obtenido ($x$ y $y$ tienen cada uno tres cifras significativas). Sin embargo, la regla de las cifras significativas no da el valor del error y es solo una primera aproximación que no siempre se cumple.

Se puede probar que, con una mayor incertidumbre como, por ejemplo, $x=1.2\pm 0.5~(\varepsilon _x=41.7\%) ,y=0.24\pm 0.05~(\varepsilon _y=20.8\%)$, con el método Crank Three Times se obtienen intervalos asimétricos 0.7 y 0.5, lo cual es un indicio de una distribución no gaussiana de los datos de $z$. Lo anterior se comprueba con el método de Montecarlo, tal y como se observa en la siguiente figura: