ER2.11. Propagación de errores por el método de Montecarlo

Introducción (planteamiento)

Dados los siguientes dos valores con sus respectivos intervalos de confianza, realizar la operación indicada y calcular su respectivo intervalo de confianza (propagación de errores) por el método analítico y simulación de Montecarlo, en dos casos diferentes de muestro normal y uniforme:

$a=10\pm 1\\ b=0.8\pm 0.2\\ A=ab$

Método (plan de solución)

Pasos: i) para una distribución normal, calcular el error $\Delta A$ por la expresión de segundo orden, donde los errores absolutos corresponden a las desviaciones estándar de cada parámetro; ii) i) para una distribución uniforme, calcular el error $\Delta A$ por la expresión de segundo orden, donde las desviaciones estándar de cada parámetro se calculan como $(\max -\min)/\sqrt{12}$; iii) implementar en MATLAB el método de Montecarlo con una distribución normal de los parámetros y comparar con los resultados del paso i, donde se debe usar la función randn y generar las familias de datos como a_rand = a + randn(N,1)*da; iv) implementar en MATLAB el método de Montecarlo con una distribución uniforme de los parámetros y comparar con los resultados del paso ii, donde se debe usar la función rand y generar las familias de datos como a_rand = amin + rand(N,1)*(amax – amin); v) interpretar los resultados. Descarga del código de este ejercicio.

Resultados (solución)

1. Propagación del error con distribución normal

Cálculo del valor:

$A=ab=8$

Desviaciones estándar a partir del intervalo de confianza:

$\Delta a=1\\ \Delta b=0.2$

Cálculo del error por el método de orden 2:

$\Delta ^{(2)}A=\sqrt{(\frac{\partial A}{\partial a}\Delta a)^2 + (\frac{\partial A}{\partial b}\Delta b)^2}=2.1541$

2. Propagación del error con distribución uniforme

Cálculo del valor: el mismo de la sección anterior.

Desviaciones estándar a partir del intervalo de confianza:

$\Delta a=\frac{11-9}{\sqrt{12}}=0.5774\\ \Delta b=\frac{1-0.6}{\sqrt{12}}=0.1155$

Cálculo del error por el método de orden 2:

$\Delta ^{(2)}A=\sqrt{(\frac{\partial A}{\partial a}\Delta a)^2+(\frac{\partial A}{\partial b}\Delta b)^2}=1.2437$

3. Método de Montecarlo con distribución normal

La aplicación del método de Montecarlo se realiza a partir del código de MATLAB de este enlace si se asume una distribución normal:

Gráfico de los datos e histograma de cada variable:

Valor medio y desviación estándar por el método de Montecarlo:

 $A=8.0040 \pm 2.1603\\ A=8 \pm 2~(\varepsilon =25\%)$

El error absoluto estimado es similar al obtenido en la sección 1 de este ejercicio.

4. Método de Montecarlo con distribución uniforme

La aplicación del método de Montecarlo se realiza a partir código de MATLAB de este enlace si se asume una distribución uniforme.

Gráfico de los datos e histograma (PDF) de cada variable:

Valor medio y desviación estándar por el método de Montecarlo:

 $A=7.9977 \pm 1.2448\\ A=8 \pm 1~(\varepsilon =12.5\%)$

El error absoluto estimado es similar al obtenido en la sección 2 de este ejercicio.

Discusión y verificación

Los resultados analíticos y por el método de Montecarlo son similares con 100,000 muestras. Para comparar los resultados con cada distribución es necesario: 1) en el caso analítico calcular la desviación estándar para cada tipo de distribución y 2) en el método de Montecarlo generar adecuadamente las muestras con cada distribución. El cálculo de la media y desviación estándar a partir de las muestras se calcula siempre de la misma manera, sin importar el tipo de distribución:

$\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N{x_i}\\ \sigma _x=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N{\left( x_i-\bar{x} \right) ^2}}$

Ver otros ejemplos similares (parte 2).