ER1.8. Solución analítica de una ecuación en diferencias lineal con raíces múltiples

Introducción (planteamiento)

Resolver analíticamente la siguiente ecuación en diferencias para $T_s=2~\mathrm{seg}$, graficarla y comprobar la solución obtenida con la solución iterativa:

$y(k+2) + y(k+1) + 0.25y(k)=(-0.5)^k, y(0)=0, y(1)=0$

Método (plan de solución)

El período de muestreo (paso) es implícito y solo se utilizará al final para dar la escala temporal en el gráfico de la solución. La solución de la ecuación implica: (i) obtener la ecuación característica y hallar las raíces características; (ii) revisar el caso (raíces reales sin repetir, raíces complejas sin repetir o raíces múltiples) y dar la solución en la forma adecuada; (iii) hallar la solución particular por el método de coeficientes indeterminados; (iv) dar la solución general como la suma de las dos soluciones anteriores; (v) utilizar las condiciones iniciales para calcular la solución particular; (vi) graficar la solución; (vii) verificar la solución comparándola con la solución iterativa; (viii) interpretar los resultados.

Resultados (solución)

La ecuación característica y las dos raíces repetidas son

$\lambda ^2+\lambda +0.25=0$

$(\lambda +0.5)^2=0$

$\lambda =\left\{ -0.5,-0.5 \right\}$

La solución de la ecuación homogénea, multiplicando la segunda solución por $k$ para obtener una segunda solución linealmente independiente, es:

$y_h(k)=c_1(-0.5)^k+c_2k(-0.5)^k$

El término independiente tiene la siguiente forma:

$u(k)=(\mathrm{Polinomio~de~grado~0})\times (-0.5)^k$

La solución particular tiene la misma forma, pero es necesario multiplicar por $k^2$ para que no esté incluida en la solución de la ecuación homogénea:

$y_{nh}(k)=Ak^2(-0.5)^k$

Para hallar el coeficiente indeterminado $A$ es necesario obtener $y(k+1)$ e $y(k+2)$ y reemplazarlas en la ecuación en diferencias:

$y_{nh}(k+1)=A(k+1)^2(-0.5)^{k+1}$

$y_{nh}(k+2)=A(k+2)^2(-0.5)^{k+2}$

Reemplazando se obtiene:

$y_{nh}(k+2) + y_{nh}(k+1) + 0.25y_{nh}(k) =(-0.5)^k$

$A(k+2)^2(-0.5)^{k+2} + A(k+1)^2(-0.5)^{k+1} + 0.25Ak^2(-0.5)^k=(-0.5)^k$

Simplificando:

$y_{nh}(k+2) + y_{nh}(k+1) + 0.25y_{nh}(k) =(-0.5)^k$

$A(k+2)^2(-0.5)^2+A(k+1)^2(-0.5)+0.25Ak^2=1$

$0.25A(k^2+4k+4)-0.5A(k^2+2k+1)+0.25Ak^2=1$

$0.5A=1,A=2$

La solución general es:

$y(k) = y_h(k) + y_{nh}(k) = c_1(-0.5)^k+c_2k(-0.5)^k+2k^2(-0.5)^k$

Reemplazando las condiciones iniciales se tiene:

$y(0) = c_1 = 0$

$y(1) = c_2(-0.5) + 2(-0.5)=0,   c_2 = -2$

La solución particular del problema de valor inicial es:

$y(k) = -2k(-0.5)^k + 2k^2(-0.5)^k = 2k(k-1)(-0.5)^k$

El código de MATLAB para la obtención del gráfico de la solución es:

kmax = 20; 

y = zeros(1, kmax+1);  t = (0:kmax);

for k = 2:kmax

      y(k+1) = 2*k*(k-1)*(-0.5)^k;

end

plot(t, y,'--',t,y,'o')

xlabel('t (seg x 2)')

Los primeros valores de la solución son:

$y(k)=\left\{ 0  0  1 -1.5  1.5 -1.25   0.9375 -0.6562  0.4375 -0.2812 \right\}$

El gráfico de la solución es: 

Discusión y verificación

En primer lugar, para verificar la solución anterior se obtiene primero con MATLAB la solución iterativa de la ecuación en diferencias utilizando el siguiente código (se deja al lector verificar la solución reemplazándola en la ecuación en diferencias):

y  = zeros(1,10);

for k = 0:7

            y(k+3) = -y(k+2) - 0.25*y(k+1) + (-0.5)^k; 

end 

Los resultados obtenidos coinciden con los valores numéricos anteriores, lo cual demuestra que la solución analítica es correcta. La solución analítica da más información del modelo, pero la solución numérica es más práctica. La solución gráfica muestra que al principio la respuesta crece debido a las variables $k$ y $k^2$ que son predominantes, pero luego son compensadas por la función $(-0.5)^k$ que decrece más rápidamente que lo que crecen las dos funciones anteriores. De esta manera, aunque haya una función creciente $k^2$, el sistema es estable debido a que hay una función $(-0.5)^k$ que disminuye con el tiempo.