ER1.6. Ecuación en diferencias finitas de orden superior y solución iterativa

Introducción (planteamiento)

Dada la siguiente ecuación diferencial de orden 2 no homogénea con coeficientes constantes, discretizarla por el método de Euler (diferencias finitas hacia delante), comparar la solución iterativa de la ecuación discreta con la solución de la ecuación continua con tres diferentes períodos de muestreo e interpretar los resultados.

$\ddot{y}+3\dot{y}+2y=1, y(0) =1, \dot{y}(0) =1$

Método (plan de solución)

Pasos: (i) discretizar la ecuación diferencial y las condiciones iniciales usando diferencias finitas hacia delante y tres períodos de muestreo (pasos); (ii) elaborar un código en MATLAB para la solución iterativa de la ecuación en diferencias con cada período de muestreo (paso); (iii) resolver la ecuación diferencial usando MATLAB; (iv) comparar en un gráfico las cuatro soluciones anteriores; (v) interpretar los resultados.

Resultados (solución)

Discretización de la ecuación diferencial utilizando las diferencias finitas hacia delante:

$\ddot{y}+3\dot{y}+2y=1$

$\Delta ^{(2)}y(kT_s) +3\Delta y(kT_s) +2y(kT_s) =1$

$\frac{y((k+2)T_s) -2y((k+1) T_s) +y(kT_s)}{T_{s}^{2}} + 3\frac{y((k+1)T_s)  - y(kT_s)}{T_s} + 2y(kT_s) =1$

Ecuación en diferencias con condiciones iniciales y con el período de muestreo (paso) implícito:

$\begin{cases} y(k+2) + (3T_s-2)y(k+1) + (1-3T_s+2T_{s}^{2})y(k) = T_{s}^{2}\\ y(0) =1, y(1) =1-T_s\\ \end{cases}$

Las condiciones iniciales de la ecuación en diferencias se obtienen de la siguiente manera:

$y(0) =1$

$\dot{y}(0) \simeq \Delta y(0)=\frac{y(1) -y(0)}{T_s}=1$

$y(1) =-T_s+y(0) =T_s+1$

El gráfico de la solución con diferentes períodos de muestreo es el siguiente: 

Comparación de la solución de una ecuación diferencial con la solución de la respectiva 
ecuación en diferencias con diferentes períodos de muestreo

El código de MATLAB de este enlace permite el cálculo de la solución de la ecuación diferencial y la obtención de su gráfico y de tres soluciones de la ecuación en diferencias con diferentes períodos de muestreo.

Discusión y verificación

La solución con un período de muestreo (paso) pequeño de 0.01 seg muestra un buen ajuste, por lo que la discretización con diferencias finitas de orden 1 y 2 es correcta. Se observa que al aumentar el período de muestreo (paso) el ajuste empeora. Sin embargo, es llamativa la precisión del método de Euler con un período de muestreo (paso) pequeño.