ER1.5. Solución de una ecuación diferencial con término independiente con una función delta de Dirac utilizando la transformada de Laplace

Introducción (planteamiento)

Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal utilizando la transformada de Laplace y analizar los resultados:

$\dot{y}+y=\delta (t), y(0)=0.5$ 

Método (plan de solución)

Pasos: (i) aplicar la transformada de Laplace a cada término, (ii) calcular la transformada de Laplace inversa, (iii) poner atención al efecto de la función delta de Dirac en la solución.

Resultados (solución)

Aplicando la transformada de Laplace se obtiene:

$\mathscr{L} \{\dot{y}\}+\mathscr{L} \{y\}=\mathscr{L} \{\delta (t)\}$

$sY(s)-y(0)+Y(s)=1$ 

$Y(s)=\frac{1+y(0)}{s+1}=\frac{1.5}{s+1}$

$y(t)=[1+y(0)]e^{-t}=1.5e^{-t}$ 

Gráfico de la solución: 

Discusión y verificación

La solución se pudo calcular, pero hay una aparente contradicción, dado que para $t=0$ se obtiene:

$y(0)=1+y(0)$ 

La contradicción se resuelve si se plantea la solución de la siguiente ecuación, con $\tau$ suficientemente pequeña:

$\dot{y}+y=\delta (t-\tau), y(0)=0.5$

La solución es:

$y(t)=e^{-(t-\tau )}u_s(t-\tau )+y(0)e^{-t}$ 

$y(0)=e^{\tau}u_s(-\tau )+y(0)$ 

Con $\tau$ muy pequeño:

$y(0)=y(0)$ 

Es decir, cuando se aplica la función $\delta (t)$ es necesario calcular los límites cuando $t$ tiende a cero por la derecha e izquierda, dado que en $t=0$ hay una discontinuidad. Lo correcto es (las condiciones iniciales se dan cuando $t \rightarrow 0^-$):

$y(0^+)=1+y(0^-)$

Solución con MATLAB, cuyo gráfico coincide con el gráfico anterior (si no se introduce el valor $\tau$ no se obtiene la solución correcta):

syms y(t)

ode = diff(y,t,1) + y(t) == dirac(t-0.000001); 

cond1 = y(0) == 0.5; 

conds = [cond1];

ySol(t) = dsolve(ode, conds) 

fplot(ySol,[0,20])

MATLAB entrega esta solución:

ySol(t) = ( exp(-t)*( exp(1/1000000) + sign(t - 1/1000000)*exp(1/1000000) + 1 ) )/2

Se le deja al lector la consulta de cómo resolver la ecuación anterior con una función delta de Dirac por medio de la teoría de las ecuaciones diferenciales.