ER1.4. Solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea con término independiente definido por partes utilizando la transformada de Laplace

Introducción (planteamiento)

Resolver la siguiente ecuación diferencial, con un término independiente definido por partes, por medio de la transformada de Laplace.

$\begin{cases} \ddot{y}+y=f(t)\\ y(0)=\dot{y}(0)=0\\\end{cases}~~~~ f(t)=\begin{cases} 0,&  0\leqslant t<1\\ 1,&  1\leqslant t<2\\ 0,&  t\geqslant 2\\\end{cases}$    

Método (plan de solución)

Esta ecuación es más simple de resolver aplicando la transformada de Laplace, dado que si se resuelve aplicando la teoría de las ecuaciones diferenciales es necesario resolverla tres veces: la primera corresponde a un término independiente igual a cero y las condiciones iniciales dadas; en el segundo tramo, el término independiente es igual a 1 y las condiciones iniciales se obtienen reemplazando $t=1$ en la solución y su derivada del tramo anterior; en el tercer tramo, el término independiente es igual a 0 y las condiciones iniciales se obtienen reemplazando $t=2$  en la solución y la derivada del tramo anterior. Sin embargo, con la transformada de Laplace se puede utilizar la función escalón unitario, por lo que la solución requiere de los siguientes pasos: (i) expresar el término independiente usando la función escalón unitario, (ii) aplicar la transformada de Laplace usando las transformadas básicas y las propiedades operacionales, (iii) despejar la solución en el espacio complejo $s$, (iv) expresar la solución usando fracciones parciales, (v) calcular la transformada de Laplace inversa utilizando las transformadas básicas y las propiedades operacionales en sentido contrario, (vi) verificar y analizar los resultados.

Resultados (solución)

Expresión general para representar una función con discontinuidad finita utilizando la función escalón unitario: 

(Función después de τ - Función antes de τ) $u_s(t-\tau)$ 

Término independiente utilizando la función escalón unitario: 

$f(t)=u_s(t-1)-u_s(t-2)$ 

Transformada de Laplace de cada término:

$\mathscr{L} \{\ddot{y}\}+\mathscr{L} \{y\}=\mathscr{L} \{u_s(t-1)-u_s(t-2)\}$

$s^2Y(s)+Y(s)=\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-2s}}{s}$

$Y(s)=\frac{e^{-s}}{s(s^2+1)}-\frac{e^{-2s}}{s(s^2+1)}$

Calculando las fracciones parciales (solo se requiere hacerlo una vez, pero el retardo es diferente):

$\frac{1}{s(s^2+1)}=\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+1},\leftrightarrow 1-\cos t$

Cálculo de la transformada inversa usando el Symbolic Math Toolbox de MATLAB:

syms s

ilaplace(1/(s*(s^2+1)))

La transformada de Laplace inversa es:

$y(t)=[1-\cos (t-1)]u_s(t-1)  -[1-\cos (t-2)]u_s(t-2)$ 

Gráfico de la solución:

t = 0:0.01:20; 

y = (1 - cos(t-1)).*heaviside(t-1) - (1 - cos(t-2)).*heaviside(t-2); 

plot(t,y), 

xlabel('t (seg)'), ylabel('y(t)')

 

Discusión y verificación

La solución tiene mínimo un retardo de 1 seg, lo cual es correcto. Además, la solución tiene un comportamiento sinusoidal, lo cual tiene sentido, dado que la ecuación diferencial corresponde a un movimiento oscilatorio sin amortiguamiento (raíces características en $\pm i$) y en el tercer tramo (después de 2 seg) las condiciones iniciales son diferentes de cero. La comparación con la respuesta simbólica con MATLAB da los mismos resultados (en este caso es mejor graficar que dar la solución analítica, dado que MATLAB la entrega en una forma poco clara):

syms y(t)

Dy = diff(y,t); D2y =  diff(y,t,2);

ode = D2y + y(t) == heaviside(t-1) - heaviside(t-2);

cond1 = y(0) == 0; cond2 = Dy(0) == 0; 

conds = [cond1 cond2]; 

ySol(t) = dsolve(ode, conds)

fplot(ySol,[0,20])