Introducción (planteamiento)
Dada la siguiente ecuación diferencial con condiciones iniciales, (a) hallar la solución aplicando la transformada de Laplace, (b) verificar la solución, (c) interpretar los resultados.
$\ddot{y}+\dot{y}=te^{-2t}, y(0)=1, \dot{y}(0)=-1$
Método (plan de solución)
Pasos para la solución del problema: (i) aplicación de la transformada de Laplace a la ecuación diferencial, lo cual implica el uso de las siguientes propiedades: derivación y translación compleja; (ii) despeje de $Y(s)$; (iii) cálculo de la transformada de Laplace inversa por fracciones parciales y, seguramente, la propiedad de traslación compleja; (iv) verificación de la solución comparando el gráfico con la solución con MATLAB, además de una interpretación a la luz del resultado esperado por el método de la ecuación característica; (v) interpretación de los resultados.
Resultados (solución)
Transformada de Laplace de la ecuación diferencial:
$\mathscr{L} \left\{ \ddot{y} \right\} +\mathscr{L} \left\{ \dot{y} \right\} =\mathscr{L} \left\{ te^{-2t} \right\} $
Transformada de cada término:
$\mathscr{L} \left\{ \ddot{y} \right\} =s^2Y(s)-sy(0)-\dot{y}(0)=s^2Y(s)-s+1$
$\mathscr{L} \left\{ \dot{y} \right\} =sY(s)-y(0)=sY(s)-1$
$\mathscr{L} \left\{ te^{-2t} \right\} =\left. \mathscr{L} \left\{ t \right\} \right|_{s\rightarrow s+2}=\frac{1}{(s+2)^2}$
Transformada de Laplace usando MATLAB:
syms t sy = t*exp(-2*t); Y = laplace(y)
Reemplazando y despejando se obtiene:
$Y(s)=\frac{1}{s+1}+\frac{1}{s(s+1)(s+2)^2}=\frac{s^3+4s^2+4s+1}{s(s+1)(s+2)^2}$
Las fracciones parciales son:
$Y(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2}+\frac{D}{(s+2)^2}$
El cálculo de los coeficientes indeterminados da:
$A=1/4, B=0, C=3/4, D=1/2$
El resultado anterior se puede calcular con ayuda de MATLAB:
syms spartfrac((s^3 + 4*s^2 + 4*s + 1)/(s*(s+1)*(s+2)^2) , s)
Los resultados de la función anterior son:
De esta manera se obtiene:
$Y(s)=\frac{1/4}{s}+\frac{3/4}{s+2}+\frac{1/2}{(s+2)^2}$
La transformada de Laplace inversa es:
$y(t)=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-2t}+\frac{1}{2}te^{-2t}$
Cálculo de la transformada de Laplace inversa usando MATLAB:
syms sy = ilaplace((s^3+4*s^2+4*s+1)/(s*(s+1)*(s+2)^2))
El resultado entregado por MATLAB es:
y = (3*exp(-2*t))/4 + (t*exp(-2*t))/2 + 1/4
Gráfico de la solución (decreciente, debido a los exponentes negativos):
t = (0:0.01:10); y = 0.25 + 0.75*exp(-2*t) + 0.5*t.*exp(-2*t);plot(t,y), xlabel('t (seg)'), ylabel('y(t)')
Discusión y verificación
Para empezar, se puede ver que la solución cumple con las condiciones iniciales, es decir, $y(0)=0, \dot{y}(0)=-1$ (verificar esta última condición inicial).
Utilizando MATLAB se tiene la siguiente solución, la cual coincide con la anterior.
syms y(t)Dy = diff(y,t); D2y = diff(y,t,2);
ode = D2y + Dy == t*exp(-2*t);cond1 = y(0) == 0; cond2 = Dy(0) == 0;
conds = [cond1 cond2];
ySol(t) = dsolve(ode,conds)
ySol(t) = (exp(-2*t)*(2*t + exp(2*t) + 3))/4 - exp(-t)
El resultado tiene sentido, además, dado que la ecuación diferencial tiene dos raíces características $\{0,-2\} $, las cuales corresponden a las dos funciones $\{1,e^{-t}\}$, pero la segunda solución desaparece debido a los valores de las condiciones iniciales. Hay dos términos adicionales $\{ e^{-2t},te^{-2t}\}$ que corresponden a la solución particular de la ecuación no homogénea con un término independiente de la forma $(at+b)e^{-2t}$.
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