ER1.3. Solución de una ecuación diferencial utilizando la transformada de Laplace

Introducción (planteamiento)

Dada la siguiente ecuación diferencial con condiciones iniciales, (a) hallar la solución aplicando la transformada de Laplace, (b) verificar la solución, (c) interpretar los resultados.

$\ddot{y}+\dot{y}=te^{-2t}, y(0)=1, \dot{y}(0)=-1$

Método (plan de solución)

Pasos para la solución del problema: (i) aplicación de la transformada de Laplace a la ecuación diferencial, lo cual implica el uso de las siguientes propiedades: derivación y translación compleja; (ii) despeje de $Y(s)$; (iii) cálculo de la transformada de Laplace inversa por fracciones parciales y, seguramente, la propiedad de traslación compleja; (iv) verificación de la solución comparando el gráfico con la solución con MATLAB, además de una interpretación a la luz del resultado esperado por el método de la ecuación característica; (v) interpretación de los resultados. 

Resultados (solución)

Transformada de Laplace de la ecuación diferencial:

$\mathscr{L} \left\{ \ddot{y} \right\} +\mathscr{L} \left\{ \dot{y} \right\} =\mathscr{L} \left\{ te^{-2t} \right\}$

Transformada de cada término:

$\mathscr{L} \left\{ \ddot{y} \right\} =s^2Y(s)-sy(0)-\dot{y}(0)=s^2Y(s)-s+1$

$\mathscr{L} \left\{ \dot{y} \right\} =sY(s)-y(0)=sY(s)-1$

$\mathscr{L} \left\{ te^{-2t} \right\} =\left. \mathscr{L} \left\{ t \right\} \right|_{s\rightarrow s+2}=\frac{1}{(s+2)^2}$

Transformada de Laplace usando MATLAB:

syms t s

y = t*exp(-2*t); Y = laplace(y)

Reemplazando y despejando se obtiene:

$Y(s)=\frac{1}{s+1}+\frac{1}{s(s+1)(s+2)^2}=\frac{s^3+4s^2+4s+1}{s(s+1)(s+2)^2}$

Las fracciones parciales son:

$Y(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2}+\frac{D}{(s+2)^2}$

El cálculo de los coeficientes indeterminados da: 

$A=1/4, B=0, C=3/4, D=1/2$

El resultado anterior se puede calcular con ayuda de MATLAB:

syms s

partfrac((s^3 + 4*s^2 + 4*s + 1)/(s*(s+1)*(s+2)^2) , s)

Los resultados de la función anterior son:

0.0075/(s + 2) + 0.5000/(s + 2)^2 + 0.02500/s

De esta manera se obtiene:

$Y(s)=\frac{1/4}{s}+\frac{3/4}{s+2}+\frac{1/2}{(s+2)^2}$

La transformada de Laplace inversa es:

$y(t)=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-2t}+\frac{1}{2}te^{-2t}$

Cálculo de la transformada de Laplace inversa usando MATLAB:

syms s

y = ilaplace((s^3+4*s^2+4*s+1)/(s*(s+1)*(s+2)^2))

El resultado entregado por MATLAB es:

y = (3*exp(-2*t))/4 + (t*exp(-2*t))/2 + 1/4

Gráfico de la solución (decreciente, debido a los exponentes negativos):

t = (0:0.01:10); y = 0.25 + 0.75*exp(-2*t) + 0.5*t.*exp(-2*t); 

plot(t,y), xlabel('t (seg)'), ylabel('y(t)')

 

Discusión y verificación

Para empezar, se puede ver que la solución cumple con las condiciones iniciales, es decir, $y(0)=0, \dot{y}(0)=-1$ (verificar esta última condición inicial).

Utilizando MATLAB se tiene la siguiente solución, la cual coincide con la anterior.

syms y(t)

Dy = diff(y,t); D2y = diff(y,t,2); 

ode = D2y + Dy == t*exp(-2*t); 

cond1 = y(0) == 0; cond2 = Dy(0) == 0; 

conds = [cond1 cond2]; 

ySol(t) = dsolve(ode,conds)

ySol(t) = (exp(-2*t)*(2*t + exp(2*t) + 3))/4 - exp(-t)

El resultado tiene sentido, además, dado que la ecuación diferencial tiene dos raíces características $\{0,-2\}$, las cuales corresponden a las dos funciones $\{1,e^{-t}\}$, pero la segunda solución desaparece debido a los valores de las condiciones iniciales. Hay dos términos adicionales $\{ e^{-2t},te^{-2t}\}$ que corresponden a la solución particular de la ecuación no homogénea con un término independiente de la forma $(at+b)e^{-2t}$.