ER1.27. Interpretación de la función de transferencia de tiempo continuo

Introducción (planteamiento)

Dada la siguiente función de transferencia de tiempo continuo, hallar la respuesta al impulso y de ella obtener la respuesta temporal a una entrada escalón y una entrada sinusoidal.

$G(s)=\frac{1}{s+0.5}$

Método (plan de solución)

Pasos: (i) obtener la respuesta al impulso (secuencia de ponderación) analíticamente; (ii) a partir de la secuencia de ponderación escribir un programa para el cálculo de la respuesta a una entrada escalón unitario; (iii) a partir de la secuencia de ponderación aplicar la integral de convolución para el cálculo de la respuesta a una entrada sinusoidal; (iv) verificar los resultados utilizando las funciones step y lsim de MATLAB; (v) analizar los resultados.

Resultados (solución)

Cálculo analítico de la respuesta al impulso:

$g(t)=\mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s+0.5} \right\} =e^{-0.5t}$

El gráfico de la secuencia de ponderación es: 

La respuesta al escalón utilizando el teorema de convolución, con $u(t) =1$, es:

$y(t) =\int\limits_o^t{g(t-\tau) u(\tau) d\tau}=\int\limits_o^t{e^{-0.5(t-\tau)} d\tau} = e^{-0.5t}\int\limits_o^t{e^{0.5\tau}d\tau} = \frac{e^{-0.5t}}{0.5}(e^{0.5t}-1)  = 2(1-e^{-0.5t})$

La respuesta a una entrada sinusoidal utilizando el teorema de convolución, con $u(t) =\sin t$, es:

$y(t) =\int\limits_o^t{g(t-\tau) u(\tau) d\tau}=\int\limits_o^t{e^{-0.5(t-\tau )}\sin \tau d\tau}=e^{-0.5t}\int\limits_o^t{e^{0.5\tau}\sin \tau d\tau}=0.8e^{-0.5t}-0.8\cos t + 0.4\sin t$

El código de MATLAB de este enlace permite obtener la secuencia de ponderación y la respuesta a una entrada escalón unitario y una entrada sinusoidal.

Resultados:

Discusión y verificación

Los gráficos anteriores muestran la coincidencia, con lo cual se verifican los cálculos, entre la respuesta temporal obtenida por simulación con los comandos step y lsim de MATLAB y con la obtenida a partir de la secuencia de ponderación. Dada la secuencia de ponderación es posible obtener la respuesta temporal a cualquier entrada aplicando la integral de convolución.