ER1.26. Cálculo de la transformada de Laplace

Introducción (planteamiento)

Dadas las siguientes funciones temporales, (i) calcular la transformada de Laplace aplicando las transformadas básicas y las propiedades, (ii) verificar la solución con la función laplace de MATLAB. Si el ejercicio se puede resolver de diferentes maneras (aplicando una propiedad u otra, o simplemente aplicando una transformada básica), se recomienda hacerlo por las diferentes formas.

Método (plan de solución)

En cada ejercicio se debe: (i) determinar si se debe destruir los paréntesis de una expresión para indicarla como la suma de términos más simples que se asemejen a una transformada básica o una propiedad; (ii) calcular analíticamente la transformada de Laplace llevando la expresión a una transformada básica o una propiedad; (iii) obtener la solución con MATLAB y llevar la expresión a la forma analítica.

Resultados (solución)

Caso 1

$y(t)=\frac{(t^2+1)^2+\sin 3t+2\cos (4t+6)-3e^{-3.4t}}{4}$

Se expanden todos los elementos utilizando el cuadrado del binomio y la propiedad trigonométrica del coseno de la suma de dos ángulos:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

Se obtiene:

$y(t)=\frac{t^4}{4}+\frac{2t^2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{\sin 3t}{4}+\frac{2}{4}(\cos 4t\cos 6-\sin 4t\sin 6)-\frac{3}{4}e^{-3.4t}$

Y,

$y(t)=\frac{t^4}{4}+\frac{t^2}{2}+\frac{1}{4}+\frac{\sin 3t}{4}+\frac{\cos 4t\cos 6}{2}-\frac{\sin 4t\sin 6}{2}-\frac{3}{4}e^{-3.4t}$

Aplicando la transformada de Laplace a cada elemento, de acuerdo con la propiedad de linealidad, donde la función que se obtiene en el plano $s$ es $Y(s)$:

$\mathscr{L} \left\{ y(t) \right\} =Y(s)=\mathscr{L} \left\{ \frac{t^4}{4}+\frac{t^2}{2}+\frac{1}{4}+\frac{\sin 3t}{4}+\frac{\cos 4t\cos 6}{2}-\frac{\sin 4t\sin 6}{2}-\frac{3}{4}e^{-3.4t} \right\}$

$Y(s)=\mathscr{L} \left\{ \frac{t^4}{4} \right\} +\mathscr{L} \left\{ \frac{t^2}{2} \right\} +\mathscr{L} \left\{ \frac{1}{4} \right\} +\mathscr{L} \left\{ \frac{\sin 3t}{4} \right\} +\mathscr{L} \left\{ \frac{\cos 4t\cos 6}{2} \right\} -\mathscr{L} \left\{ \frac{\sin 4t\sin 6}{2} \right\} -\mathscr{L} \left\{ \frac{3}{4}e^{-3.4t} \right\}$

Sacando las constantes del símbolo de transformada, de acuerdo con la propiedad de linealidad:

$Y(s)=\frac{1}{4}\mathscr{L} \left\{ t^4 \right\} +\frac{1}{2}\mathscr{L} \left\{ t^2 \right\} +\frac{1}{4}\mathscr{L} \left\{ 1 \right\} +\frac{1}{4}\mathscr{L} \left\{ \sin 3t \right\} +\frac{\cos 6}{2}\mathscr{L} \left\{ \cos 4t \right\}-\frac{\sin 6}{2}\mathscr{L} \left\{ \sin 4t \right\} -\frac{3}{4}\mathscr{L} \left\{ e^{-3.4t} \right\}$

Aplicando las transformadas básicas:

$Y(s)=\frac{1}{4}\frac{4!}{s^5}+\frac{1}{2}\frac{2!}{s^3}+\frac{1}{4}\frac{1}{s}+\frac{1}{4}\frac{3}{s^2+3^2}+\frac{\cos 6}{2}\frac{s}{s^2+4^2}-\frac{\sin 6}{2}\frac{4}{s^2+4^2}-\frac{3}{4}\frac{1}{s+3.4}$

Simplificando:

$Y(s)=\frac{6}{s^5}+\frac{1}{s^3}+\frac{1/4}{s}+\frac{3/4}{s^2+9}+\frac{(\cos (6)/2)s}{s^2+16}-\frac{2\sin 6}{s^2+16}-\frac{3/4}{s+3.4}$

Caso 2

$y(t)=e^{4t}\left[ e^{-3t}-e^t\sin (6t+1) \right] ^2$

Se expande la expresión cuadrática (cuadrado del binomio):

$y(t)=e^{4t}\left[ \left( e^{-3t} \right)^2-2e^{-3t}e^t\sin (6t+1)+\left(e^t \right) ^2\sin ^2(6t+1) \right]$

Simplificando:

$y(t)=e^{4t}\left[ e^{-6t}-2e^{-2t}\sin (6t+1)+e^{2t}\sin ^2(6t+1) \right]$

$y(t)=e^{-2t}-2e^{2t}\sin (6t+1)+e^{6t}\sin ^2(6t+1)$

Se debe aplicar las siguientes identidades trigonométricas (seno de la suma y cuadrado del seno):

$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$

$\sin ^2a=\frac{1-\cos 2a}{2}$ 

Es decir,

$\sin (6t+1)=\sin 6t\cos 1+\sin 1\cos 6t$

$\sin ^2(6t+1)=\frac{ 1-\cos (2(6t+1)) }{2}$

De esta manera,

$y(t)=e^{-2t}-2e^{2t}(\sin 6t\cos 1+\sin 1\cos 6t)+e^{6t}\left[ \frac{1-\cos (12t+2)}{2} \right]$

Destruyendo paréntesis:

$y(t)=e^{-2t}-2\cos 1e^{2t}\sin 6t - 2\sin 1e^{2t}\cos 6t + \frac{1}{2}e^{6t} - \frac{1}{2}e^{6t}\cos (12t+2)$

Utilizando la propiedad del coseno de la suma:

$y(t)=e^{-2t}-2\cos 1e^{2t}\sin 6t-2\sin 1e^{2t}\cos 6t+\frac{1}{2}e^{6t}-\frac{1}{2}e^{6t}\left( \cos 12t\cos 2-\sin 12t\sin 2 \right)$

Destruyendo paréntesis:

$y(t)=e^{-2t}-2\cos 1e^{2t}\sin 6t-2\sin 1e^{2t}\cos 6t+\frac{1}{2}e^{6t}-\frac{1}{2}\left( \cos 2 \right) e^{6t}\cos 12t+\frac{1}{2}\left( \sin 2 \right) e^{6t}\sin 12t$

Aplicando la transformada de Laplace a cada elemento, de acuerdo con la propiedad de linealidad, donde la función que se obtiene en el plano $s$ es $Y(s)$:

$\mathscr{L} \left\{ y(t) \right\} =\mathscr{L} \left\{ e^{-2t}-2\cos 1e^{2t}\sin 6t-2\sin 1e^{2t}\cos 6t)+\frac{1}{2}e^{6t}-\frac{1}{2}\cos 2e^{6t}\cos 12t+\frac{1}{2}\sin 2e^{6t}\sin 12t \right\}$

$Y(s)=\mathscr{L} \left\{ e^{-2t} \right\} -2\cos 1\mathscr{L} \left\{ e^{2t}\sin 6t \right\} -2\sin 1\mathscr{L} \left\{ e^{2t}\cos 6t) \right\} +\frac{1}{2}\mathscr{L} \left\{ e^{6t} \right\} -\frac{1}{2}\cos 2\mathscr{L} \left\{ e^{6t}\cos 12t \right\} \\+\frac{1}{2}\sin 2\mathscr{L} \left\{ e^{6t}\sin 12t \right\}$

Cálculo de las transformadas básicas y aplicación del teorema de traslación compleja:

$\mathscr{L} \left\{ e^{-2t} \right\} =\frac{1}{s+2}, \mathscr{L} \left\{ e^{6t} \right\} =\frac{1}{s-6}$

$\mathscr{L} \left\{ e^{{\color{red} 2}t}\sin 6t \right\} =\left. \mathscr{L} \left\{ \sin 6t \right\} \right|_{s\rightarrow s-{\color{red} 2}}=\left. \frac{6}{s^2+6^2} \right|_{s\rightarrow s-{\color{red} 2}}=\frac{6}{\left( s-2 \right) ^2+36}$

$\mathscr{L} \left\{ e^{{\color{red} 2}t}\cos 6t) \right\} =\left. \mathscr{L} \left\{ \cos 6t \right\} \right|_{s\rightarrow s-{\color{red} 2}}=\left. \frac{s}{s^2+6^2} \right|_{s\rightarrow s-{\color{red} 2}}=\frac{s-2}{\left( s-2 \right) ^2+36}$

$\mathscr{L} \left\{ e^{{\color{red} 6}t}\cos 12t \right\} =\left. \mathscr{L} \left\{ \cos 12t \right\} \right|_{s\rightarrow s-{\color{red} 6}}=\left. \frac{s}{s^2+12^2} \right|_{s\rightarrow s-{\color{red} 6}}=\frac{s-6}{\left( s-6 \right) ^2+144}$

$\mathscr{L} \left\{ e^{{\color{red} 6}t}\sin 12t \right\} =\left. \mathscr{L} \left\{ \sin 12t \right\} \right|_{s\rightarrow s-{\color{red} 6}}=\left. \frac{12}{s^2+12^2} \right|_{s\rightarrow s-{\color{red} 6}}=\frac{12}{\left( s-6 \right) ^2+144}$

Reemplazando:

$Y(s)=\frac{1}{s+2}-2\cos 1\frac{6}{\left( s-2 \right) ^2+36}-2\sin 1\frac{s-2}{(s-2)^2+36}+\frac{1}{2}\frac{1}{s-6}-\frac{1}{2}\cos 2\frac{s-6}{(s-6)^2+144}+\frac{1}{2}\sin 2\frac{12}{(s-6)^2 + 144}$

Destruyendo paréntesis:

$Y(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{12\cos 1}{s^2-4s+40}-\frac{2\sin 1(s-2)}{s^2-4s+40}+\frac{1/2}{s-6}-\frac{\cos 2/2(s-6)}{s^2-12s+180}+\frac{6\sin 2}{s^2-12s+180}$

Agrupando fracciones similares:

$Y(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{12\cos 1+2\sin 1(s-2)}{s^2-4s+40}+\frac{1/2}{s-6}+\frac{6\sin 2-\cos 2/2(s-6)}{s^2-12s+180}$

Verificación

Caso 1

Código y resultados con MATLAB:

syms y(t)

y(t) = ( (t^2+1)^2 + sin(3*t) + 2*cos(4*t+6) – 3*exp(-3.4*t) )/4;

Y = laplace(y)

Solución analítica original:

$Y(s)=\frac{6}{s^5}+\frac{1}{s^3}+\frac{1/4}{s}+\frac{3/4}{s^2+9}+\frac{(\cos 6/2)s}{s^2+16}-\frac{2\sin 6}{s^2+16}-\frac{3/4}{s+3.4}$

Solución analítica ordenada según la solución de MATLAB y con agrupación de términos:

$Y(s)=\frac{3/4}{s^2+9}-\frac{3/4}{s+3.4}+\frac{1/4}{s}+\frac{1}{s^3}+\frac{6}{s^5}+\frac{(s\cos 6-4\sin 6)/2}{s^2+16}$

Realizando las operaciones aritméticas:

$Y(s)=\frac{0.75}{s^2+9}-\frac{0.75}{s+3.4}+\frac{0.25}{s}+\frac{1}{s^3}+\frac{6}{s^5}+\frac{0.5(0.9602s+1.1177)}{s^2+16}$

La solución simbólica coincide con la analítica.

Caso 2

Código y resultados con MATLAB:

syms y(t)

y(t) = exp(4*t)*( exp(-3*t) – exp(t)*sin(6*t+1) )^2;

Y1 = laplace(y);

Y2 = simplifyFraction(Y1);

Y = partfrac(Y2)

Solución analítica original:

$Y(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{12\cos 1+2\sin 1(s-2)}{s^2-4s+40}+\frac{1/2}{s-6}+\frac{6\sin 2-\cos 2/2(s-6)}{s^2-12s+180}$

Organizando:

$Y(s)=\frac{1}{s+2}+\frac{1/2}{s-6}+\frac{6\sin 2-\cos 2/2(s-6)}{s^2-12s+180}-\frac{12\cos 1+2\sin 1(s-2)}{s^2-4s+40}$

Realizando las operaciones aritméticas: 

$Y(s)=\frac{1}{s+2}+\frac{0.5}{s-6}+\frac{0.2081s+4.2073}{s^2-12s+180}-\frac{1.6829s+3.1177}{s^2-4s+40}$

La solución simbólica coincide con la analítica.