ER1.25. Ecuación diferencial de primer orden con variables separables

Introducción (planteamiento)

Dado el siguiente problema de valor inicial correspondiente al vaciado de un tanque con un área de la base $A_t$ por un orificio de área $A_o$ ($A_0/A_t=0.1$), aceleración de la gravedad $g\simeq 10 ~\mathrm{m/s^2}$ y altura variable $h$, (a) hallar la solución general, (b) hallar la solución particular (¿en cuánto tiempo se vacía el tanque?), (c) esbozar gráficamente la forma de la solución, (d) reemplazar la solución general en la ecuación diferencial para verificar el resultado, (e) verificar con MATLAB.

$\dot{h}=-\frac{A_o}{A_t}\sqrt{2gh}, h(0)=1$

Método (plan de solución)

Pasos: (i) reemplazar los valores de los parámetros en la ecuación diferencial, (ii) identificar el tipo de ecuación diferencial (con variables separables), (iii) separar las variables e integrar para hallar la solución general (no olvidar la constante arbitraria durante el paso de integración), (iv) despejar, si es posible, la variable dependiente $(h)$ en función de la variable independiente $(t)$, (v) utilizar las condiciones iniciales para obtener la solución particular (si hay varias opciones determinar aquella que tenga sentido para el problema), (vi) esbozar el gráfico de la solución particular (utilizar la condición inicial, las funciones en la solución y el límite cuando $t\rightarrow \infty$), (vii) analizar los resultados.

Resultados (solución)

Primer se halla la solución general. Separando variables se tiene:

$\dot{h}=\frac{dh}{dt}=-0.2\sqrt{20h}=-0.4\sqrt{5h}$

$\frac{dh}{\sqrt{h}}=-0.4\sqrt{5}dt$

Integrando, donde es importante separar las constantes de las variables para mayor claridad:

$\int{\frac{dh}{\sqrt{h}}}=-0.4\sqrt{5}\int{dt}+C$

$\int{\frac{dh}{\sqrt{h}}}=\int{h^{-1/2}dh}=\frac{h^{1/2}}{1/2}$

Por lo tanto ($C/2\rightarrow C$),

$\frac{h^{1/2}}{1/2}=-0.4\sqrt{5}t+C$

$h^{1/2}=\frac{-0.4\sqrt{5}t+C}{2}=-0.2\sqrt{5}t+C$

Solución general:

$h=\left( -0.2\sqrt{5}t+C \right) ^2$

Para calcular la solución particular se utiliza la condición inicial:

$h(0)=\left( -0.2\sqrt{5}\times 0+C \right) ^2=C^2=1,C=\pm 1$

Se tienen dos soluciones particulares:

$h=\left( -0.2\sqrt{5}t+1 \right) ^2$

$h=\left( -0.2\sqrt{5}t-1 \right) ^2$

Las dos soluciones siempre son positivas debido al cuadrado al cuadrado, pero sólo en la primera se da un vaciado del tanque $(h=0)$ para un tiempo positivo:

$t_{vac}=\frac{1}{0.2\sqrt{5}}$

Por lo tanto, la solución particular es:

$h=(-0.2\sqrt{5}t+1)^2$

Un esbozo del gráfico (gráfico aproximado) de la solución implica calcular en que valor inicia (condición inicial  $h(0)=1$), el tiempo $t_{vac}$ en el que se vacía y la expresión cuadrática:

 

Discusión y verificación

Verificación analítica (reemplazo en la ecuación diferencial)

$\dot{h}=\frac{d}{dt}\left( -0.2\sqrt{5}t+C \right) ^2=2\left( -0.2\sqrt{5}t+C \right) \left( -0.2\sqrt{5} \right)$

Reemplazando la anterior expresión a la izquierda de la ecuación diferencial y la solución a la derecha se tiene:

$\frac{dh}{dt}+0.2\sqrt{20h}=0$

$2\left( -0.2\sqrt{5}t+C \right) \left( -0.2\sqrt{5} \right) +0.2\sqrt{20\left( -0.2\sqrt{5}t+C \right) ^2}=0\\-0.4\sqrt{5}\left( -0.2\sqrt{5}t+C \right) +0.2\sqrt{20}\left( -0.2\sqrt{5}t+C \right) =0\\-0.4\sqrt{5}\left( -0.2\sqrt{5}t+C \right) +0.4\sqrt{5}\left( -0.2\sqrt{5}t+C \right) =0\\0=0$

Cálculo con MATLAB

syms h(t)

Dh = diff(h,t,1);

edo = Dh == -0.4*(5*h)^0.5;

ci = h(0) == 1;

sol = dsolve(edo,ci)

fplot(sol,[0 3])

Solución (llevar a la forma adecuada la solución de arriba): 

Gráfico (sólo el de vaciado es correcto): 

El vaciado de un tanque corresponde a una curva descendente, tal y como se observa. De las dos soluciones obtenidas sólo una de ellas cumple con el requisito de vaciado en un tiempo positivo. 

Es importante observar que si se aplica el teorema de existencia y unicidad no se evidencia ningún problema (la condición es suficiente mas no necesaria), dado que tanto $f(t,h)$ como $\partial f/\partial h$ son continuas en una región alrededor del punto $h(0)=1~(t=0, h=1)$ dado por las condiciones iniciales:

$f(t,h)=-0.2\sqrt{20h}$

$\frac{\partial f}{\partial h}=-0.1\sqrt{\frac{20}{h}}$