ER1.22. Discretización de una ecuación de estado con diferentes retardos en cada entrada

Introducción (planteamiento)

Discretizar con un período de muestreo $T_s=0.3$ el siguiente modelo, utilizando MATLAB y dando valores diferentes al retardo de la segunda variable de entrada

$\mathbf{\dot{x}}=\left[ \begin{matrix} -1&  1\\ 0&  -2\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{matrix} 1&  2\\ -1&  0\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} u_1(t-0.2)\\ u_2(t-\tau _2)\\\end{array} \right]$

$y(t)=x_1$

$\tau _2=\left\{ 0.2, 0, 0.7 \right\}$

Método (plan de solución)

Pasos: (i) discretizar con MATLAB con cada retardo, (ii) analizar cada resultado.

Resultados (solución)

El siguiente código de MATLAB permite la discretización del modelo en el caso de diferente retardo para la segunda entrada, dejando fijo en 0.2 el retardo de la primera entrada:

tau2 = 0.2; 

S = ss([-1 1; 3 -2], [1  2; -1  0], [1 0], [0 0], 'InputDelay', [0.2, tau2]); 

Sd = c2d(S, 0.3); 

Gd = tf(Sd)

Para $\tau _2=0.2$ (caso trivial descrito en esta sección cuando todas las entradas tienen el mismo retardo):

Para $\tau _2=0$ (segunda variable sin retardo):

Para $\tau _2=0.7$:

Discusión y verificación

Los resultados anteriores se obtienen directamente con MATLAB y no requieren una verificación, por lo que se pasa directamente a un análisis de los resultados haciendo énfasis en el aumento del orden del modelo discreto en variables de estado. El período de muestreo es $T_s=0.3$ y el retardo de la primera entrada siempre es 0.2. 

Para $\tau _2=0.2<T_s$ se tiene un retardo puro en cada entrada que es menor que el período de muestreo, por lo que el retardo total discreto en cada variable de entrada es igual a 1. Esto lleva a que se aumente en 1 el orden por cada una de las dos entradas, siendo el aumento total de dos variables de estado. El modelo discreto no tiene retardo en las entradas y todo queda representado por el aumento del orden. En términos de la función de transferencia, debe aplicarse la transformada z modificada, la cual conlleva a un retardo puro, pero no a un retardo intrínseco, tal y como se observa en la función de transferencia discreta obtenida.

Para $\tau _2=0$ se tiene un retardo puro solo en la primera entrada, menor que el período de muestreo, por lo que el retardo total discreto aparece solo en la primera entrada y es igual a 1. Esto lleva a que aumente en 1 el orden del modelo, solo por la primera variable, quedando el orden en 3. El modelo discreto no tiene retardos en las entradas y todo queda representado por el aumento del orden. En términos de la función de transferencia que se muestra, debe aplicarse la transformada z modificada al caso de la entrada 1 con retardo y la transformada z convencional al caso de la entrada 2 sin retardo, lo cual lleva a un retardo puro sin retardo intrínseco en la primera función de transferencia y a un retardo intrínseco sin retardo intrínseco en la segunda función de transferencia.

Para $\tau _2=0.7>T_s$ se tiene un retardo puro en la primera entrada menor que el período de muestreo y un retardo puro en la segunda entrada que es 2 y 1/3 mayor que el período de muestreo. Lo anterior lleva a que aumente en 1 el orden del modelo por cada variable (2 en total), quedado el orden en 4; sin embargo, la primera variable de entrada discreta no tiene retardo, mientras la segunda sí lo tiene, como puede verse en el modelo entregado por MATLAB: "Input delays (sampling periods): 0  2". En términos de la función de transferencia que se muestra, debe aplicarse la transformada z modificada al caso de la entrada 1 con retardo y la transformada z modificada al caso de la entrada 2 para lo que queda del retardo después de $2T_s$, es decir, 0.1. Lo anterior lleva a un retardo puro sin retardo intrínseco en las dos funciones de transferencia, de 1 en la primera y de 3 en la segunda.

En todos los casos anteriores se cumple que el retardo total es:

$nk=\lfloor \frac{\tau}{T_s} \rfloor +1$

En efecto, para $\tau _1=0.2$ siempre se obtiene que $nk=1$. Para $\tau _2=0.2$ y $\tau _2=0$, $nk=1$. Para $\tau _2=0.7$, $nk=3$. El retardo puro y el retardo intrínseco en cada caso depende de si es necesario o no aplicar la transformada z modificada.