Introducción (planteamiento)
Dada la siguiente ecuación de estado no homogénea, hallar la solución usando el método de la transformada de Laplace y analizar el resultado:
$\mathbf{\dot{x}}=\left[ \begin{matrix} -1& 0\\ 0& -2\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} -1\\ 1\\\end{array} \right] u, \mathbf{x}(0)=\left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\\end{array} \right] $
Entrada: $u=\delta (t-2)$
Método (plan de solución)
Pasos: (i) hallar la matriz de transición del estado, (ii) calcular la integral de convolución y dar la solución, (iii) verificar los resultados, (iv) analizar los resultados.
Resultados (solución)
En primer lugar, se halla la matriz de transición del estado:
$\left( s\mathbf{I}-\mathbf{A} \right) ^{-1}=\left[ \begin{matrix} s+1& 0\\ 0& s+2\\\end{matrix} \right] ^{-1}=\left[ \begin{matrix} \frac{1}{s+1}& 0\\ 0& \frac{1}{s+2}\\\end{matrix} \right] $
$\mathbf{\Phi }(t)=\mathscr{L} ^{-1}\left\{ (s\mathbf{I}-\mathbf{A})^{-1} \right\} =\mathscr{L} ^{-1}\left\{ \left[ \begin{matrix} \frac{1}{s+1}& 0\\ 0& \frac{1}{s+2}\\\end{matrix} \right] \right\} =\left[ \begin{matrix} e^{-t}& 0\\ 0& e^{-2t}\\\end{matrix} \right] $
Es importante verificar que $\mathbf{\Phi }(0)=\mathbf{I}$, una de las propiedades de la matriz de transición del estado.
La solución de la ecuación de estado es:
$\mathbf{x}(t)=\mathbf{\Phi }(t)\mathbf{x}(0)+\int\limits_0^t{\mathbf{\Phi }(t-\tau )\mathbf{Bu}(\tau )d\tau}$
$\mathbf{x}(t)=\left[ \begin{matrix} e^{-t}& 0\\ 0& e^{-2t}\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\\end{array} \right] +\int\limits_0^t{\left[ \begin{matrix} e^{-(t-\tau )}& 0\\ 0& e^{-2(t-\tau )}\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} -1\\ 1\\\end{array} \right] \delta (\tau -2)d\tau}$
La integral se puede calcular si se aplican las propiedades de la función delta de Dirac (se debe usar la función escalón dado que la integral es igual a cero para $t<0$):
$\int\limits_0^t{\left[ \begin{matrix} e^{-(t-\tau )}& 0\\ 0& e^{-2(t-\tau )}\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} -1\\ 1\\\end{array} \right] \delta (\tau -2)d\tau =}\int\limits_0^t{\left[ \begin{array}{c} -e^{-(t-\tau )}\\ e^{-2(t-\tau )}\\\end{array} \right] \delta (\tau -2)d\tau}\\ =\left[ \begin{array}{c} -e^{-(t-2)}u_s(t-2)\\ e^{-2(t-2)}u_s(t-2)\\\end{array} \right] $
La solución final es:
$\mathbf{x}(t)=\left[ \begin{array}{c} e^{-t}\\ 0\\\end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} -e^{-(t-2)}\\ e^{-2(t-2)}\\\end{array} \right] u_s(t-2)=\left[ \begin{array}{c} e^{-t}-e^{-(t-2)}u_s(t-2)\\ e^{-2(t-2)}u_s(t-2)\\\end{array} \right] $
Discusión y verificación
La ecuación de estado está en la forma diagonal (desacoplada), por lo que se puede transformar en dos simples ecuaciones de primer orden:
$\dot{x}_1=-x_1-\delta (t-2)\\ \dot{x}_2=-2x_2+\delta (t-2)$
Aplicando la transformada de Laplace se obtiene el mismo resultado anterior:
$sX_1(s)-x_1(0)=-X_1(s)-e^{-2s}, X_1(s)=\frac{1}{s+1}-\frac{e^{-2s}}{s+1}$
$sX_2(s)-x_2(0)=-2X_2(s)+e^{-2s}, X_2(s)=\frac{e^{-2s}}{s+2}$
Aplicando la transformada inversa de Laplace:
$x_1=e^{-t}-e^{-(t-2)}u_s(t-2)\\x_2=e^{-2(t-2)}u_s(t-2)$
Por lo tanto, tiene sentido que a cada variable de estado le corresponda una sola función exponencial ($e^{-t}$ o $e^{-2t}$).
Se verifica la solución, adicionalmente, usando MATLAB:
A = [-1 0;0 -2];B = [-1; 1];C = eye(2);D =[0; 0];x0 = [1; 0];S = ss(A, B, C, D);dt = 0.01;t = 0:dt:10;tau = 2;u = zeros(1, length(t));idx = find(t==tau);u(idx) = 1/dt; % Aproximación de delta con un pulso% u = exp(-((t-tau)/dt).^2)/(dt*pi^0.5); % Aproximación de delta con una función gaussiana% u = max(0, 1 - abs((t-tau)/dt))/dt; % Aproximación de delta con una función triangularx1_analitica = exp(-t) - exp(-t+2).*heaviside(t-2);x2_analitica = exp(-2*t+4).* heaviside(t-2);x_simulacion = lsim(S, u, t, x0);plot(t, x1_analitica, t, x2_analitica, t(1:20:1001), x_simulacion(1:20:1001,:),'ko')xlabel('t (seg)')
Los gráficos de las soluciones (estables) coinciden:
Se observa que en el instante $t=2$, debido a la entrada $\delta (t-2)$, las variables de estado se incrementan en $\mathbf{B}$, es decir, $x_1(2^+)=x_1(2^-)-1$ y $x_2(2^+)=x_2(2^-)+1$.
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