ER1.2. Ecuación diferencial lineal no homogénea con término independiente definido por partes

Introducción (planteamiento)

Resolver el siguiente problema de valor inicial por el método de coeficientes indeterminados y graficar la solución:

$\dot{y}+y=f(t), y(0)=-2, f(t)=\left\{ \begin{matrix} 0,&  0\leqslant t<1\\ 1,&  t\geqslant 1\\ \end{matrix} \right.$

Método (plan de solución)

Pasos: (i) hallar la solución de la ecuación diferencial homogénea; (ii) entre 0 y 1 el término independiente es igual a cero, por lo que la solución $y_1(t)$ es la homogénea; (iii) dada la solución anterior, hallar $y_1(1)$; (iv) resolver la ecuación diferencial no homogénea con el término independiente igual a 1 y la condición inicial $y_1(1)$; (v) graficar la solución.

Resultados (solución)

La ecuación homogénea es:

$\dot{y}+y=0$

La solución de la ecuación homogénea (solución complementaria) por integración o por el método de la ecuación característica, por ser una ecuación lineal, es:

$y_h=ce^{-t}$

Para el primer segmento $[0,1)$ se tiene que $f(t)=0$, por lo que la solución de la ecuación diferencial es la misma solución de la ecuación homogénea:

$y=ce^{-t}$

La solución particular, utilizando la condición inicial, es

$y(0)=c=-2, y_1(t)=-2e^{-t}$

Al final del segmento el valor de la función, correspondiente la condición inicial del segundo segmento, es:

$y_1(1)=-2e^{-1}=-0.7358$

El problema de valor inicial para el segundo segmento es:

$\dot{y}+y=1, y(1)=-0.7358$

La solución complementaria es $y_h$ y la solución particular se calcula por el método de coeficientes indeterminados:

$y_{nh}=A, \dot{y}_{nh}=0$

Reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene que $A=1$. La solución general es:

$y(t)=ce^{-t}+1$

Utilizando la condición inicial:

$y(1)=ce^{-1}+1=-0.7358, c=-4.7184$

La solución particular de la ecuación no homogénea en el segundo segmento es:

$y_2(t)=1-4.7184e^{-t}$

La solución particular de toda la ecuación diferencial se puede escribir de la siguiente manera:

$y(t)=\begin{cases} -2e^{-t},&  0\leqslant t<1\\ 1-4.7184e^{-t},&  t\geqslant 1\\\end{cases}$

Código de MATLAB y gráfico de la solución, donde se observa un cambio de la pendiente de la solución en $t=1$:

t1 = 0:0.001:0.999; 

y1 = -2*exp(-t1); 

t2 = 1:0.001:6; 

y2 = 1 - 4.7184*exp(-t2); 

plot(t1, y1, t2, y2,'--') 

xlabel('t (seg)'), legend('y(0 ≤ t < 1', 'y(t ≥ 1)') 

 

Discusión y verificación

La ecuación anterior se puede resolver simbólicamente con MATLAB a partir del siguiente código, donde la función heaviside corresponde a la función escalón unitario:

syms t y(t)

Dy = diff(y,t); 

ode = Dy + y == heaviside(t-1); 

cond = y(0) == -2; 

ySol(t) = dsolve(ode, cond);

fplot(ySol,[0,6])

El MATLAB permite resolver simbólicamente solo ecuaciones lineales con coeficientes constantes.

El gráfico coincide con el de arriba (no se muestra por ser idéntico).

La solución dada por MATLAB es:

ySol(t) = - 3.3591*exp(-t) - exp(-t)*(  1.3591*sign(t - 1) - 0.5000*exp(t)*( sign(t - 1) + 1)  )

Donde, la función sign entrega (-1) si el argumento es negativo o (+1) si el argumento es positivo o 0 si el argumento es 0. Por lo tanto, si t < 1, sign(t-1) = -1 y ySol = - 3.3591*exp(-t) - exp(-t)*( 1.3591*(-1) - 0.5000*exp(t)*(-1+ 1) ) = -3.3591*exp(-t) - exp(-t)*(-1.3591) = -2*exp(-t). Esta solución coincide con la analítica. Se deja al lector verificar lo que sucede cuando t ≥ 1.

El gráfico muestra que a pesar de que el término independiente tiene una discontinuidad finita, la solución de la ecuación diferencial es una función continua (los límites por la derecha y por la izquierda en ese punto coinciden), pero no es derivable (la derivada es diferente por la izquierda y por la derecha).