ER1.19. Solución de la ecuación de estado no homogénea con valores propios reales repetidos y vectores linealmente dependientes

Introducción (planteamiento)

Dada la siguiente ecuación de estado no homogénea, hallar la solución usando valores y vectores propios por los métodos de coeficientes indeterminados, obtener la matriz de transición del estado y analizar el resultado:

$\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -1& 2\\ 0&  -1\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 1\\ -2\\\end{array} \right] u\,\,  \mathbf{x}(0)=\left[ \begin{array}{c} -1\\ 1\\\end{array} \right]$

Entrada: $u=\cos t$

Método (plan de solución)

Pasos: (i) hallar los valores propios; (ii) dar la solución de la ecuación homogénea; (iii) encontrar la matriz de transición del estado; (iv) hallar la solución de la ecuación no homogénea por el método de coeficientes indeterminados; (v) comprobar la solución por otros medios; (vi) analizar los resultados.

Resultados (solución)

Dado que la matriz es triangular, los valores propios son: $\{-1, -1\}$. Se tiene un valor propio de multiplicidad algebraica igual a 2. Es necesario calcular la multiplicidad geométrica:

$\mathrm{mg}\left( -1 \right) =n-\left. \mathrm{rank(}\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A}) \right|_{\lambda =-1}=2-\mathrm{rank}\left[ \begin{matrix} \lambda +1&  -2\\ 0&  \lambda +1\\\end{matrix} \right] _{\lambda =-1}\\=\,\,2-\mathrm{rank}\left[ \begin{matrix} 0&  -2\\ 0&  0\\\end{matrix} \right] =2-1=1$

Como la multiplicidad geométrica es menor que la multiplicidad algebraica, es necesario encontrar un vector propio generalizado. Primer vector propio:

Para $\lambda =-1, \mathbf{v}_1=\left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\\end{array} \right] \,\, \mathbf{x}_1=\left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\\end{array} \right] e^{-t}$

 Vector propio generalizado $\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_g$:

$\left( \lambda \mathbf{I}-\mathbf{A} \right) \mathbf{v}_2=-\mathbf{v}_1\,\,  \left[ \begin{matrix} 0&  -2\\ 0&  0\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} v_{21}\\ v_{22}\\\end{array} \right] =-\left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\\end{array} \right] \,\,  v_{22}=0.5, \forall v_{21}, v_{21}=0$

$\mathbf{v}_2=\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0.5\\\end{array} \right] \,\,  \mathbf{x}_2=(\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_1t)e^{-t}=\left[ \begin{array}{c} t\\ 0.5\\\end{array} \right] e^{-t}$

Solución de la ecuación homogénea:

$\mathbf{x}_h=c_1\left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\\end{array} \right] e^{-t}+c_2\left[ \begin{array}{c} t\\ 0.5\\\end{array} \right] e^{-t}=\left[ \begin{matrix} e^{-t}&  te^{-t}\\ 0&  0.5e^{-t}\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} c_1\\ c_2\\\end{array} \right] =\mathbf{F}(t)\mathbf{c}$

De la expresión anterior se observa bien la matriz $\mathbf{F}(t)$, con lo cual, cuando $t=0$ se tiene:

$\mathbf{F}(0)=\left[ \begin{matrix} 1&  0\\ 0&  0.5\\\end{matrix} \right]$

La inversa de la matriz anterior es:

$\mathbf{F}^{-1}(0)=\left[ \begin{matrix} 1&  0\\ 0&  2\\\end{matrix} \right]$

La matriz de transición del estado es:

$\mathbf{\Phi }(t)=\mathbf{F}(t)\mathbf{F}^{-1}(0)=\left[ \begin{matrix} e^{-t}&  te^{-t}\\ 0&  0.5e^{-t}\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1&  0\\ 0&  2\\\end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} e^{-t}&  2te^{-t}\\ 0&  e^{-t}\\\end{matrix} \right]$

Es importante verificar que $\mathbf{\Phi }(0)=\mathbf{I}$, una de las propiedades de la matriz de transición del estado. 

Por el método de coeficientes indeterminados, la solución de la ecuación no homogénea se puede hallar en una forma similar a la del término independiente:

$\mathbf{x}_{nh}=\boldsymbol{a}\cos t+\mathbf{b}\sin t=\left[ \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\\end{array} \right] \cos t+\left[ \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\\end{array} \right] \sin t$

Derivando el término anterior, reemplazando en la ecuación no homogénea y resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:

$-\boldsymbol{a}\sin t+\mathbf{b}\cos t=\mathbf{A}(\boldsymbol{a}\cos t+\mathbf{b}\sin t) + \mathbf{B}\cos t$

Comparando los coeficientes de términos semejantes a la izquierda y derecha de la igualdad:

$\sin t)~-\boldsymbol{a}=\mathbf{Ab}$

$\cos t)~\mathbf{b}=\mathbf{A}\boldsymbol{a}+\mathbf{B}$

Resolviendo las ecuaciones anteriores se llega a:

$\boldsymbol{a}=\left[ \begin{array}{c} 0.5\\ -1\\\end{array} \right], \mathbf{b}=\left[ \begin{array}{c} -1.5\\ -1\\\end{array} \right]$

La solución de la ecuación no homogénea es:

$\mathbf{x}_{nh}=\left[ \begin{array}{c} 0.5\\ -1\\\end{array} \right] \cos t+\left[ \begin{array}{c} -1.5\\ -1\\\end{array} \right] \sin t$

Le solución general es:

$\mathbf{x}=\mathbf{x}_h+\mathbf{x}_{nh}=c_1\left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\\end{array} \right] e^{-t}+c_2\left[ \begin{array}{c} t\\ 0.5\\\end{array} \right] e^{-t}+\left[ \begin{array}{c} 0.5\\ -1\\\end{array} \right] \cos t+\left[ \begin{array}{c} -1.5\\ -1\\\end{array} \right] \sin t$

Utilizando las condiciones iniciales:

$c_1\left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\\end{array} \right] +c_2\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0.5\\\end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} 0.5\\ -1\\\end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} -1\\ 1\\\end{array} \right]$

$c_1=-1.5, c_2=4$

La solución de la ecuación de estado es:

$\mathbf{x}=\left[ \begin{array}{c} -1.5e^{-t}+4te^{-t}+0.5\cos t-1.5\sin t\\ 2e^{-t}-\cos t-\sin t\\\end{array} \right]$

Discusión y verificación

Para verificar la solución se compara la solución analítica obtenida con la solución. Los gráficos de las soluciones (estables) coinciden:

 

El código de MATLAB es:

A = [-1 2;0 -1]; 

B = [1; -2]; 

C = eye(2); 

D =[0; 0]; 

x0 = [-1; 1]; 

S = ss(A, B, C, D); 

t = 0:0.01:20; 

u = cos(t);

x1_analitica = -1.5*exp(-t) + 4*t.*exp(-t) + 0.5*cos(t) - 1.5*sin(t); 

x2_analitica = 2*exp(-t) - cos(t) - sin(t);

x_simulacion = lsim(S, u, t, x0); 

plot(t, x1_analitica, t, x2_analitica, t(1:20:2001), x_simulacion(1:20:2001,:),'ko');

xlabel('t (seg)')

Al principio se observa un comportamiento transitorio (dado que el sistema es estable, la solución de la ecuación homogénea desaparece con el tiempo) y luego la solución se estabiliza en una señal sinusoidal correspondiente a la solución de la ecuación no homogénea, dada por el término independiente $\mathbf{B}u\left( t \right)$ de la ecuación de estado.