ER1.18. Solución de la ecuación de estado no homogénea con valores propios complejos y diferentes

Introducción (planteamiento)

Dada la siguiente ecuación de estado no homogénea, hallar la solución usando valores y vectores propios por el método de coeficientes indeterminados, obtener la matriz de transición del estado y analizar el resultado:

$\dot{\mathbf{x}}=\left[ \begin{matrix} -1&  1\\ -2&  1\\\end{matrix} \right] \mathbf{x}+\left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\\end{array} \right] u, \mathbf{x}(0)=\left[ \begin{array}{c} 1\\ -1\\\end{array} \right]$

Entrada: $u=1$

Método (plan de solución)

Pasos: (i) hallar los valores propios; (ii) dar la solución de la ecuación homogénea; (iii) encontrar la matriz de transición del estado; (iv) hallar la solución de la ecuación no homogénea por el método de coeficientes indeterminados; (v) comprobar la solución por otros medios; (vi) analizar los resultados.

Resultados (solución)

Cálculo de los valores propios:

$\left| \lambda \mathbf{I}-\mathbf{A} \right|=\left| \begin{matrix} \lambda +1&  -1\\ 2&  \lambda +1\\\end{matrix} \right|=\lambda ^2+1=0$

$\lambda =\{ i,-i \}$

Vector propio para $\lambda =i$: 

$\mathbf{v}=\left[ \begin{matrix} 1&  i+1\\ \end{matrix} \right] ^T$

Las dos soluciones de la ecuación homogénea se obtienen a partir de la solución anterior de la siguiente manera:

$\mathbf{x}_h(t) = \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1+i\\\end{array} \right] e^{it} = \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1+i\\ \end{array} \right] \left( \cos t + i\sin t \right) = \left[ \begin{array}{c} \cos t\\ \cos t-\sin t\\ \end{array} \right] + i\left[ \begin{array}{c} \sin t\\ \cos t+\sin t\\ \end{array} \right]$

Tomando la parte real y compleja:

$\mathbf{x}_h(t) = c_1\left[ \begin{array}{c} \cos t\\ \cos t - \sin t\\ \end{array} \right] + c_2\left[ \begin{array}{c} \sin t\\ \cos t+\sin t\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{matrix} \cos t&  \sin t\\ \cos t-\sin t&  \cos t + \sin t\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} c_1\\ c_2\\\end{array} \right] =\mathbf{F}(t)\mathbf{c}$

De la anterior expresión se observa la forma de la matriz $\mathbf{F}(t)$, por lo cual:

$\mathbf{F}(0)=\left[ \begin{matrix} 1& 0\\ 1&  1\\ \end{matrix} \right]$

La inversa de la matriz anterior es:

$\mathbf{F}^{-1}(0) = \left[ \begin{matrix} 1&  0\\ -1&  1\\ \end{matrix} \right]$

La matriz de transición del estado es:

$\mathbf{\Phi }(t) = \mathbf{F}(t)\mathbf{F}^{-1}(0) = \left[ \begin{matrix} \cos t&  \sin t\\ \cos t-\sin t&  \cos t+\sin t\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1&  0\\ -1&  1\\\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \cos t - \sin t& \sin t\\ -2\sin t& \cos t+\sin t\\ \end{matrix} \right]$

Es importante verificar, al menos, que $\mathbf{\Phi }(0)=\mathbf{I}$, una de la propiedades de la matriz de transición del estado. 

Por el método de coeficientes indeterminados, la solución de la ecuación no homogénea se puede hallar de la misma forma que tiene el término independiente, pero con coeficientes indeterminados:

$\mathbf{x}_{nh} = \boldsymbol{a} = \left[ \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ \end{array} \right]$

Derivando el término anterior, reemplazando en la ecuación no homogénea y resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:

$\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{matrix} -1& 1\\ -2 & 1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} 1\\1\\ \end{array} \right]$

El sistema de ecuaciones algebraicas da el siguiente resultado:

$\boldsymbol{a}=\left[ \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ -1\\ \end{array} \right]$

La solución general es:

$\mathbf{x} = \mathbf{x}_h+\mathbf{x}_{nh} = c_1\left[ \begin{array}{c} \cos t\\ \cos t - \sin t\\ \end{array} \right] + c_2\left[ \begin{array}{c} \sin t\\ \cos t + \sin t\\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} 0\\ -1\\ \end{array} \right]$

Utilizando las condiciones iniciales:

$c_1\left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ \end{array} \right] + c_2\left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} 0\\ -1\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1\\ -1\\ \end{array} \right]$

Despejando:

$c_1=1, c_2=-1$

La solución de la ecuación de estado es:

$\mathbf{x} = \left[ \begin{array}{c} \cos t - \sin t\\ -1-2\sin t\\ \end{array} \right]$

Discusión y verificación

Para verificar la solución se compara la solución analítica obtenida con la solución a partir de la simulación con el siguiente código de MATLAB:

A = [-1 1; -2 1]; 

B = [1; 1]; 

C = eye(2); 

D =[0; 0]; 

x0 = [1; -1]; 

S = ss(A, B, C, D); 

t = 0:0.01:10; 

u = ones(1, length(t)); % Vector de unos

x1_analitica = cos(t) - sin(t); 

x2_analitica = -1 - 2*sin(t); 

x_simulacion = lsim(S, u, t, x0);

plot(t, x1_analitica, t, x2_analitica, t(1:20:1001), x_simulacion(1:20:1001,:),'ko')

xlabel('t (seg)')

Los gráficos de las soluciones (estables) coinciden: 

El comportamiento oscilatorio con amplitudes que no disminuyen es correcto, debido a que las raíces son imaginarias, sin parte real decreciente. Se observa que cada curva parte de una condición inicial correcta.